3.3. Геометричне означення ймовірності

Щоб подолати недолік класичного означення ймовірності, яке полягає у тому, що його не можна застосувати до випробування з нескінченою кількістю елементарних подій, вводять геометричну ймовірність – ймовірність попадання точки в область.

Нехай – деяка область на прямій, площині або в просторі, а А – деяка частина області. В областінавмання вибирають точку, вважаючи, що вибір точок області рівноможливий. Ймовірність того, що точка належить А, визначається рівністю

,

де – міра (довжина, площа, об’єм, час) А,.

Задача 11. На аудиокасеті записані концерти трьох співаків: першого – протягом 40 хв. звучання, другого – протягом 30 хв., третього – протягом 20 хв. Запис перемотується і навмання включається. Яка ймовірність того, що звучить пісня у виконанні другого співака?

Розв’язання Випробування – включається касета; подія А – звучить пісня у виконанні другого співака.

Час звучання запису Т()=90хв., час звучання другого співака Т(А)=30хв. За формулою (3) маємо.

Відповідь: .

Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність. Теореми множення ймовірностей.

Означення. Дві події називаються незалежними, якщо здійснення однієї з них не впливає на ймовірність здійснення іншої в одному і тому ж випробуванні.

Приклад. Випробування – два студенти складають іспит; подія А – перший студент склав іспит; подія В – другий студент склав іспит. Події А і В – незалежні.

Означення. Дві події називаються залежними, якщо здійснення однієї з них впливає на ймовірність здійснення або не здійснення іншої в одному і тому ж випробуванні.

Приклад. У ящику 10 куль: 3 білих і 7 чорних. По черзі навмання виймають дві кулі. Нехай відбулися події: А – перша взята куля є білою; В – друга взята куля є чорною.

Можливі дві умови:

Перша умова. Першу взяту кулю повертають до ящика. Тоді ймовірність появи другої кулі, яка є чорною не залежатиме від події А і дорівнюватиме за класичним означенням . А події А і В при цій умові будутьнезалежними.

Друга умова. Першу взяту білу кулю не повертають до ящика, тоді ймовірність появи чорної другої кулі залежить від події А. Події А і В є залежними.

Перш ніж обчислити ймовірність події В за такої умови, введемо означення умовної ймовірності.

Означення. Ймовірність події В обчислена за умови появи події А називається умовною ймовірністю події В і позначається

Р_А(В) або Р(В/А)

Нарешті обчислимо Р_А(В). Після того як витягли білу кулю, в урні залишилося 2 білих і 7 чорних куль. Отже Р_А(В)=.

Теорема множення ймовірностей незалежних подій

Якщо події А і В незалежні, то ймовірність добутку цих подій дорівнює добутку їх ймовірностей, тобто

(1)

Наслідок . Ймовірність добутку скінченої кількості незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій

Задача 12. Студент шукає потрібну йому формулу у двох довідниках. Ймовірність того, що формула знаходиться у першому дорівнює 0,6, а у другому – 0,7. Знайти ймовірність того, що формула міститься в обох довідниках.

Розв’язання. Випробування – студент шукає формулу у двох довідниках.

Подія А₁ – формула знаходиться у першому довіднику;

подія А₂ – формула знаходиться у другому довіднику.

Оскільки існування формули в першому довіднику не залежить від ймовірності існування формули у другому довіднику і навпаки, то події А₁, А₂ – незалежні. Тому для розв’язання задачі скористаємося формулою (1) для випадку двох незалежних подій .

Маємо .

Відповідь: 0,42.