- •Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей 8
- •Модульний план
- •Розподіл балів за виконані роботи
- •Критерії оцінювання знань, вмінь та навичок студентів Лекційні заняття
- •Практичні заняття
- •Оцінювання самостійної та індивідуальної роботи
- •Модуль і. Теорія ймовірностей Змістовний модуль 1. Теоретичні основи теорії ймовірностей та комбінаторики
- •Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей
- •1.1. Поняття "випробування" та "подія". Предмет теорії ймовірностей. Коротка історична довідка.
- •Властивості операцій над подіями
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 2. Основні поняття та принципи комбінаторики
- •Сполуки без повторень елементів
- •Сполуки з повторенням елементів
- •Основні принципи комбінаторики
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 3. Ймовірність подій. Основні теореми теорії ймовірностей
- •Властивості ймовірності
- •3.2. Відносна частота. Статистичне означення ймовірності.
- •3.3. Геометричне означення ймовірності
- •Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність. Теореми множення ймовірностей.
- •Теорема множення ймовірностей залежних подій
- •3.5. Теореми додавання ймовірностей Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
- •3.6. Ймовірність настання хоча б однієї події
- •Теорема
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 4. Формула повної ймовірності. Формула Бейєса.
- •4.1. Формула повної ймовірності
- •4.2. Формула Бейєса
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 5. Послідовні незалежні випробування
- •5.1.Схема повторних незалежних випробувань Бернуллі.
- •5.2. Граничні теореми у схемі Бернуллі
- •5.3. Ймовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності в незалежних випробуваннях
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичні заняття Практичне заняття №1
- •Практичне заняття №2
- •Практичне заняття №3
- •Практичне заняття №4
- •Практичне заняття №5
- •Самостійна робота
- •Рівень а
- •Рівень б
- •Рівень в
- •Рівень а
- •Рівень б
- •Рівень в
- •Теми рефератів
- •Задачі для самоперевірки
- •Змістовний модуль 2. Випадкові величини
- •Тема 6. Види випадкових величин та способи їх задання
- •6.1. Поняття випадкової величини. Закони розподілу випадкових величин.
- •6.1.1. Дискретні випадкові величини
- •Числові характеристики двв
- •6.1.2. Неперервні випадкові величини. Щільність розподілу.
- •Основні закони розподілу неперервних величин
- •Числові характеристики ннв
- •Правило трьох сигм
- •6.2. Закон великих чисел та центральна гранична теорема
- •Теорема
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичны заняття Практичне заняття №6
- •Практичне заняття №9
- •Самостійна робота
- •Числові характеристики основних розподілів
- •Рівень а
- •Рівень б
- •Рівень в
- •Задача 1
- •Задача 2
- •10. Неперервна випадкова величина задана інтегральною функцією розподілу:
- •Задачі для самоконтролю
- •Модуль іі. Математична статистика Змістовний модуль 3. Теоретичні основи математичної статистики
- •Тема 7. Предмет та задачі математичної статистики
- •Види та способи відбору
- •Первинна обробка даних
- •Згрупований розподіл накопиченої частоти
- •Розподіл щільності частоти і щільності відносної частоти
- •Емпірична функція розподілу
- •Властивості емпіричної функції розподілу
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 8. Статистичні оцінки параметрів розподілу
- •8.1. Числові характеристики статистичного розподілу
- •Алгоритм методу добутків
- •8.2. Точкові та інтервальні оцінки параметрів розподілу
- •Точкова оцінка математичного сподівання
- •Точкова оцінка дисперсії. Виправлена дисперсія
- •Інтервальні оцінки для математичного сподівання
- •Знаходження об’єму вибірки
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичні заняття Практичне заняття №10
- •Практичне заняття №11
- •Практичне заняття №12-13
- •Практичне заняття №14
- •Самостійна робота
- •Змістовний модуль 4. Статистична перевірка гіпотез. Елементи теорії кореляції і дисперсійного аналізу
- •Тема 9. Статистична перевірка гіпотез
- •Статистичні гіпотези та їх класифікація
- •9.2. Статистичні критерії перевірки нульової гіпотези
- •9.3. Перевірка гіпотези про закон розподілу. Критерій згоди Пірсона.
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 10. Елементи теорії кореляції
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 11. Поняття дисперсійного аналізу. Однофакторний дисперсійний аналіз
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичні заняття
- •Практичне заняття №17
- •Практичне заняття №18
- •Самостійна робота
- •Методичні рекомендації
- •Список використаної та рекомендованої літератури
- •Додатки
- •Математична довідка
- •Властивості функції
- •V. Правила інтегрування функцій
Тема 3. Ймовірність подій. Основні теореми теорії ймовірностей
Означення. Число яке дає кількісну оцінку можливості появи деякої події називають ймовірністю події.
Ймовірність події А позначають Р(А).
Існують декілька означень ймовірності: класичне, статистичне, геометричне.
Класичне означення ймовірності
Розглядаючи деяке випробування, мислено підраховують у ньому число всіх рівноможливих та попарно несумісних його результатів, які утворюють повну групу подій. Серед них виділяють таку кількість результатів випробування, які є сприятливими для деякої події А (N(A)=m).
Означення. Ймовірністю появи випадкової події А називають відношення числа результатів випробування, сприятливих для А – т, до числа всіх рівноможливих, єдиноможливих та попарно несумісних результатів випробування – п:
.
Задача 9. Знайти ймовірність того, що число очок, що випаде на гральному кубику при одному підкиданні, буде парним.
Розв’язання. Випробування – одне підкидання одного грального кубика, подія А – випадання парного числа очок.
Простір елементарних подій , де– поява одного очка,– поява двох очок і т.д., міститьп=6 елементарних подій. Подія А =міститьт=3 сприятливих для неї подій. За формулою одержимо:.
Відповідь: 0,5.
Властивості ймовірності
Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.
У цьому випадку т = п , відповідно .
Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.
У цьому випадку т= 0, відповідно Р()=.
Ймовірність випадкової події Ає додатнє число, що лежить у межах від нуля до одиниці, тобто 0≤≤1
Задача 10. В урні 15 білих і 10 чорних куль. З урни навмання виймають три кульки. Знайти ймовірність того, що
всі три кульки білі (подія А);
дві кулі білі і одна чорна (подія В).
Розв’язання. Випробування – поява з урни, що містить 25 кульок, трьох кульок.
1) Число всіх елементарних подій дорівнює числу комбінацій з 25 по 3, тобто . Знаходимо число сприятливих випадків для події А. Три білі кульки можна вибрати з 15 білих кульокспособами. Отже, шукана ймовірність дорівнює
.
2) Аналогічно до пункту 1), . Знайдемо число сприятливих випадків. Дві білі кульки можна вибрати з 15 білих кульокспособами, а одну чорну з десяти чорних –способами. За правилом множення одержимот=k2·k1=. Тому маємо.
Відповідь: 1) 0,2; 2) 0,46.
3.2. Відносна частота. Статистичне означення ймовірності.
Нехай проведено п незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може відбутися. Припустимо, що подія А відбулася т разів (т≤п).
Число називаютьвідносною частотою події А і позначають . Відносну частоту можна знайти тільки після проведення випробування. Спостереження показали, що при достатньо великій кількості випробуваньп відносна частота проявляє властивість стабільності. Ця властивість полягає в тому, що відносні частоти при різнихп відрізняються мало і коливаються біля деякого числа.
Означення. Стале число, навколо якого групуються відносні частоти при достатньо великих п, називається статистичною ймовірністю
Приклад. За даними української статистики відносна частота народження дівчаток у 1998 році помісячно характеризувалася такими числами: 0,486; 0,489; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Відносна частота коливається навколо числа 0,482, яке можна вважати наближеним значенням ймовірності народження дівчаток.