Тема 6. Види випадкових величин та способи їх задання

6.1. Поняття випадкової величини. Закони розподілу випадкових величин.

Ми розглядали події сутність яких полягала у появі того чи іншого числа. Наприклад, при підкиданні грального кубика могли з’явитися числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Заздалегідь визначити яка кількість очок випаде неможливо, оскільки вона залежить від багатьох випадкових обставин, які повністю не можуть бути враховані. У такому розумінні кількість очок є величина випадкова; числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 є можливими значеннями цієї величини.

Випадкові величини позначають великими літерами X, Y, Z, а їх можливі значення – відповідними малими літерами з індексами. Наприклад, Х: х₁, х₂, ..., х_п ; Y: y₁, y₂, …,y_n.

Означення. Випадковою називають величину Х, яка в результаті випробування приймає одне і тільки одне можливе дійсне значення, наперед невідоме і залежне від випадкових обставин.

Означення. Дискретною випадковою величиною (ДВВ) називають таку величину, яка може приймати відокремлені ізольовані одне від одного (їх можна пронумерувати) числові значення з відповідними ймовірностями.

Приклад. Кількість хлопчиків серед 100 новонароджених є випадковою величиною Х, яка приймає такі можливі значення 1,2,3,...,100.

Означення. Неперервною випадковою величиною (НВВ) називають таку величину, яка може приймати будь-яке числове значення з деякого скінченого або нескінченного інтервалу (а;в).

Приклад. Зріст учнів 14 років, виміряний у мм.

6.1.1. Дискретні випадкові величини

З кожною випадковою величиною пов’язана деяка множина чисел – значень, які вона може приймати. В результаті проведення випробування ці значення мають різні ймовірності їх появи. Для повної характеристики випадкової величини потрібно вказати не лише усі її можливі значення, але й закон, за яким знаходиться ймовірність кожного значення p_k=p(X=x_k)=f(X) або P(X). Правило, що встановлює зв’язок між можливими значеннями та їх ймовірностями, називають законом розподілу випадкової величини. У випадку ДВВ функціональну залежність можна задавати таблично, аналітично або графічно.

Означення. Законом розподілу дискретної випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв’язок між можливими її значеннями та відповідними їх ймовірностями.

Нехай ДВВ Х приймає одне з п різних значень х₁, х₂, х₃, ..., х_n. При цьому кожне з цих значень величина Х приймає з визначеною ймовірністю – відповідно р₁, р₂, р₃, ..., р_n. Якщо ці дані помістити в таблицю, то така таблиця називається таблицею розподілу ДВВ Х або рядом розподілу ДВВ Х, й говорять, що величину подано таблично.

Х	х1	х2	х3	х	...	хп
р	р1	р2	р3	р4	...	рп

Оскільки випадкова величина Х неодмінно прийме якесь значення, то .

За рядом розподілу можна побудувати функцію розподілу (ймовірності) дискретної випадкової величини Х

=,

де підсумовування проводиться за всіма k, для яких х_к < х.

Графік функції розподілу дискретної випадкової величини має ступінчастий вигляд. Переконаємося у цьому на прикладі.

Задача 1. В партії з шести деталей чотири стандартні. Навмання вибрані три деталі. Знайти:

а) ряд розподілу дискретної випадкової величини Х – число стандартних деталей серед відібраних;

б) функцію розподілу дискретної випадкової величини Х.

Розв’язання

а) Випадкова величина Х може приймати такі значення: х₁=1, х₂=2, х₃=3. Знайдемо ймовірності цих значень

;

;

.

Отже, маємо ряд розподілу дискретної випадкової величини Х:

х	1	2	3
р	0,2	0,6	0,2

Перевірка: 0,2+0,6+0,2=1.

б) побудуємо функцію розподілу дискретної випадкової величини Х та її графік:

якщо х <1, то =0;

якщо 1≤ х<2, то =0,2;

якщо 2≤ х<3, то =0,2+0,6=0,8;

якщо х≥3, то =0,2+0,6+0,2=1.

Отже,

Будуємо графік

Основні закони розподілу дискретних випадкових величин

1. Біноміальний розподіл

Проводиться п однакових незалежних випробувань в кожному з яких може відбутися подія А з ймовірністю р (0<р<1).

Випадкова величина Х – число настання події А. Тоді ряд розподілу має вигляд

Х	0	1	2	...	к	...	п
р

де ,,к=0,1,2,...,п.

2. Розподіл Пуасона

Х	0	1	...	п
р			...

, де >0, п=0,1,2,...

3. Геометричний розподіл

Проводять незалежні випробування, в кожному з яких може відбутися подія А з ймовірністю р (0<р<1). Дискретна випадкова величина Х – число проведених випробувань до першого настання події А.

Х	1	2	3	...	п
р				...