Распределение признака. Нормальное распределение

5.1 Параметры распределения

Распределением признаканазывается закономерность встречаемо­сти разных его значений (Плохинский Н.А., 1970, с. 12).

Параметры распределения– это его числовые характеристики, указывающие, где «в среднем» располагаются значения признака, на­сколько эти значения изменчивы и наблюдается ли преимущественное появление определенных значений признака. Наиболее практически важными параметрами являются математическое ожидание, дисперсия, показатели асимметрии и эксцесса.

В реальных психологических исследованиях мы оперируем не па­раметрами, а их приближенными значениями, так называемыми оценка­ми параметров. Это объясняется ограниченностью обследованных выбо­рок. Чем больше выборка, тем ближе может быть оценка параметра к его истинному значению. В дальнейшем, говоря о параметрах, мы будем иметь в виду их оценки.

В психологических исследованиях чаще всего ссылаются на нор­мальное распределение.

5.2 Нормальное распределение

Нормальное распределение характеризуется тем, что крайние зна­чения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения, близ­кие к средней величине, –достаточно часто. Нормальным такое распре­деление называется потому, что оно очень часто встречалось в естест­венно-научных исследованиях и казалось «нормой» всякого массового случайного проявления признаков.

Это распределение следует закону, открытому тремя учеными в разное время: Муавром в 1733 г. в Англии, Гауссом в 1809 г. в Германии и Лапласом в 1812 г. во Франции (Плохинский Н.А., 1970, с.17). График нормального распределения представляет собой привычную глазу психолога-исследователя так на­зываемую колоколообразную кривую.

Задача 5.1

Как оценить вероятность того, что n независимых событий с вероятностью Р получения одного из двух исходов обеспечат r удач?

Первым, кто решил эту задачу был де Муавр (1667-1754г.г.). Он пытался решить следующую задачу.

Предположим, что монета подбрасывается 10 раз. При 10 бросаниях монеты «орел» может выпасть 2 раза, а может и 8 раз. Какова вероятность того, что в результате получится 0 «орлов» или 1 «орел»?

Вероятности появления 0,1,2,…. 10 «орлов» в результате 10 бросаний монеты графически представлены на рисунке 5.1

Рис.5.1. График распределения вероятности получения определенного числа «орлов» при бросаниях правильной монеты.

Задача, которую пытался решить де Муавр, состояла в том, чтобы найти уравнение кривой, близкой к данной графической интерпретации.

Де Муавру удалось показать, что искомое уравнение кривой имеет вид:

, (5.1)

где u– высота кривой;

 ≈ 3,142;

е ≈ 2,718;

 – соответствует среднему распределению частот выборки, определяет положение кривой относительно числовой оси;

 – стандартное отклонение распределения, определяющее положение и регулирующее размах.

Графический вид нормального распределения при =0и при=1приведен на рисунке 5.2.

Такого рода кривая называется единичной нормальной кривой и имеет площадь, равную 1. Она выбрана как стандарт для нормального распределения. Меняя значения,, можно сдвигать конкретную нормальную кривую по числовой оси вверх и вниз и менять размах.

Рис.5.2. Нормальная кривая для =0и=1

На рисунке 5.3 представлен графический вид нормального распределения при =1 и разном значении, а на рисунке 5.4 графический вид нормального распределения при=0 и разном значении.

Для нахождения ординаты какого-нибудь значения единичной нормальной кривой используются специальные статистические таблицы (таблица 1 Приложения 1).

Фактически существует бесконечное множество нормальных кривых, отличающихся друг от друга значениями ,. Важное общее свойство семейства нормальных кривых заключается в доле площади между двумя точками, выраженными в стандартном отклонении:

1. 68% площади под кривой лежит в пределах одной  от среднего в любом направлении, т.е. 1;

2. 95% площади под кривой лежит в пределах двух от среднего в любом направлении, т.е. 2;

3. 99,7% площади под кривой лежит в пределах трех от среднего в любом направлении, т.е. 3.

=-1 =0 =1

Рис. 5.3. Нормальная кривая для =1 при разном значении

=0,5

=1

=2

Рис. 5.4. Нормальная кривая для =0 при разном значении.