Меры изменчивости

Меры центральной тенденции говорят о концентрации груп­пы значений на числовой шкале. Каждая мера дает такое значе­ние, которое «представляет» в каком-то смысле все оценки группы. В этом случае пренебрегают различиями, существую­щими между отдельными значениями. Для измерения вариации оценок внутри группы требуются другие описательные статистики.

Всякая научная деятельность связана с понятием изменчиво­сти. Когда есть много необъяснимых причин вариабельности, прогнозы не будут очень точными. Зато, когда объяснения причинразличий людей и вещей представлены в виде не­которой модели, неопределенность можно уменьшить, а часть вариации устранить.

Например, если бы было совсем неизвестно, почему люди различаются между собой по умственному разви­тию, то попытка прогнозировать интеллект наталкивалась бы на большую неопределенность; некоторые люди выглядели бы «смышлеными», а другие – «глупыми», и никто не знал бы, почему. Однако если известно, что наследственность и окружаю­щая среда оказывают количественное влияние на IQ, то инфор­мация о происхождении ребенка и его воспитании в раннем детстве позволила бы дать более точный прогноз его умствен­ного развития в зрелости. Другими словами, вариабельность IQ у лиц со сходной наследственностью и окружающей средой меньше, чем у людей вообще.

4.1 Размах

Размах(иногда эту величину называют разбросом выборки) измеряет на числовой шкале расстояние, в пределах которого изменяются оценки, и обозначается буквойR. Это самый простой показатель, который можно получить для выборки, – разность между максимальным и минимальным значениями вариационного ряда, т.е.

(4.1)

Понятно, что чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина R, и наоборот.

Однако может случиться так, что у двух выборочных рядов и средние, и размах совпадают, однако характер варьирования этих рядов будет различный. Для того чтобы более четко представлять характер варьирования выборок, следует обратиться к их распределениям.

4.2 Дисперсия и стандартное отклонение

Значения отклонений, то есть значения вида , несут информацию о вариации выборочной совокупности значений. Совокупность с большой неоднородностью будет иметь несколько больших отклонений. Каковы были бы отклонения, если бы все значения и совокупности равнялись 8? Среднее было бы 8, следовательно, каждое отклонение было бы 8 – 8 = 0. В предельно однородной совокупности, которая в принципе достижима, все отклонения равны нулю. Некоторая комбинация отклонений могла бы быть полезной мерой вариации.

Если бы нам требовалось просуммировать все отклонения, то характеризовала ли бы эта сумма вариацию исходных дан­ных? Нет, поскольку эта сумма всегда точно равна нулю:

.

Для обхода этого факта мы можем возвести в квадрат каждое отклонение и найти сумму квадратов. Следовательно, для данной совокупности мера вида

будет большой, когда данные неоднородны, и малой для однородных. Чтобы избавиться от знаков, мы могли бы обойтись без квадратов отклонений; мы могли бы просто рассматривать эти отклонения как положительные (взятые по их абсолютной ве­личине). Это привело бы к другой мере вариации, называемой средним отклонением.

Величина суммы квадратов зависит также от того, сколько имеется данных Чем больше п,тем больше сумма. Если хотят сравнить изменчивость двух совокупностей, которые отличаются по объему, то возникает ограничение. Оно снимается после деления суммы наn-1 и называетсявыборочной дисперсией:

, (4.2)

где – выборочная дисперсия;

x_i– значение признака;

–выборочная средняя;

n – объем выборки.