Гипотезы к задаче

Н₀: Распределение оценок по контрольной работе не отличается от равномерного распределения.

Н₁: Распределение оценок по контрольной работе отли­чается от равномерного распределения.

Теоретическая частота при сопоставлении эмпирического распределения с равномерным определяется по формуле:

f_теор =n / k, (12.2)

где n – количество наблюдений;

k –количество разрядов признака.

Для приведенной задачи f_теор = 32 / 4 = 8. Если бы все оценки распределялись равномерно, то оценку «5» получили бы 8 учащихся, как и оценки «4», «3», «2».

В методе ² вычисления производятся с точностью до сотых, а иногда и до тысячных долей единицы.

Оформим вычисления расчет критерия ² при сопоставлении эмпирического распределения оценок по контрольной работе с равномерным распределением втаблицу12.2.

Таблица 12.2

Разряды	Эмпирическая частота, fэj	Теоретическая частота, fТ	fэj- fТ	(fэj- fТ)^2	(fэj- fТ)^2/ fТ
«5»	14	8	6	36	4,50
«4»	5	8	-3	9	1,13
«3»	8	8	0	0	0,00
«2»	5	8	-3	9	1,13
Сумма	32	32	0	54	6,75

Сумма раз­ностей между эмпирическими и теоретической частотами (сумма по четвертому столбцу) всегда равна 0. Если это равенство не соблюдается, это означает, что в подсчете частот или разностей допущена ошибка.

Согласно формуле (12.1) сумма шестого столбца и есть.

Для нахождения критических значений критерия ²необходимо обратиться к таблице 8 Приложения 1, определив предварительно число степеней свободыv.В нашем случае k (число вариантов оценок) = 4, следовательно,v = 4 – 1 = 3. По таблице 8 Приложения 1 находим:

.

Построим «ось значимости». Чем больше отклонения эмпирических частот от теоретических, тем больше будет величина. Поэтому «зона значимости» располагается справа, а «зона незначимости» – слева.

Ответ

²_эмп = 6,75, принимаетсяH₀. Распределение оценок по контрольной работе не отличается от равномерного распределения.

При решении задач с равновероятным распределением теоретических частот не было необходимости использовать специальные процедуры их подсчета. Однако на практике чаще возникают задачи, в которых распределение теоретических частот не имеет равновероятного характера. В этих случаях для подсчета теоретических частот используются специальные формулы или таблицы. Рассмотрим задачу, в которой в качестве теоретического будет использоваться нормальное распределение.

Задача 12.2

У 267 человек был измерен рост. Вопрос состоит в том, будет ли полученное в этой выборке распределение роста близко к нормальному (задача взята из учебника Г.Ф. Лакина «Биометрия», 1990).

Данные разбиты на 9 интервалов шириной 3 см. В задаче указаны середины интервалов и эмпирическая частота. Среднее значение , стандартное отклонение = 4,06.

Решение

Гипотезы к задаче

Н₀: Распределение роста 267 человек не отличается от равномерного.

Н₁: Распределение роста 267 человек отличается от равномерного.

Для каждого выделенного интервала первоначально подсчитывается нормированные частоты по формуле:

, (12.3)

где x_i– середины интервалов;

–среднее;

 – среднеквадратичное отклонение.

Подсчитав эти величины, занесем их в таблицу 12.3, в третий столбец

Затем по величинам нормированных частот по таблице 1 Приложения 1 находим ординаты нормальной кривой – , для каждойz_i. Ординаты заносим в четвертый столбец таблицы 12.3.

Таблица 12.3

Центры интервалов xi	Эмпирические частоты fэi		Ординаты нормальной кривой	Расчетные теоретические частоты
155	3	-2,77	0,0086	1,7
158	9	-2,03	0,0508	10,0
161	31	-1,29	0,1736	34,3
164	71	-0,55	0,3429	67,7
167	82	0,19	0,3918	77,3
170	46	0,93	0,2589	51,1
173	19	1,67	0,0989	19,5
176	5	2,41	0,0219	4,3
179	1	3,15	0,0028	0,6
Сумма	267			267

Теоретические частоты находятся по формуле:

, (12.4)

где n– общая величина выборки (n=267);

 – величина интервала (=3);

 – среднеквадратичное отклонение.

После подсчета эти величины заносятся в пятый столбец таблицы 12.3.

Дальнейшие расчеты проводим на основе стандартной таблицы 12.4.

Согласно формуле (12.1) сумма шестого столбца и есть.

Таблица 12.4

Разряды	Эмпирическая частота, fэj	Теоретическая частота, fТ	fэj- fТ	(fэj- fТ)^2	(fэj- fТ)^2/ fТ
155	3	1,7	1,3	1,69	0,99
158	9	10,0	-1	1	0,10
161	31	34,3	-3,3	10,89	0,32
164	71	67,7	3,2	10,24	0,15
167	82	77,3	4,4	19,36	0,25
170	46	51,1	-5,2	27,04	0,53
173	19	19,5	-0,4	0,16	0,01
176	5	4,3	0,6	0,36	0,08
179	1	0,6	0,4	0,16	0,27
Сумма	267	267	0		2,7

В случае оценки равенства эмпирического распределения нормальному число степеней свободы определяется особым образом: из общего числа интервалов вычитается число 3. В данном случае: 9-3=6. Таким образом, число степеней свободы будет равно v=6. По таблице 8 Приложения 1 находим:

.

«Ось значимости»

Ответ

, принимается Н₀. Распределение роста 267 человек не отличается от равномерного.

Задача 12.3

Одинаков ли уровень подготовленности учащихся в классе из задачи 12.1 и в классе, где при изучении этой темы применялась другая методика? Результаты второй группы учащихся представлены в таблице 12.5.

Таблица 12.5

Оценки	«5»	«4»	«3»	«2»	Всего взглядов
Количество оценок	15	6	9	6	36

Решение

Гипотезы к задаче

Н₀: Распределение оценок по контрольной работе в первой группе учащихся не отличается от распределения оценок во второй группе учащихся.

Н₁: Распределение оценок по контрольной работе в первой группе учащихся отличается от распределения оценок во второй группе учащихся.

Для подсчета теоретических частот можно составить специальную таблицу (12.6). Для каждой эмпирической частоты определяется своя теоретическая частота. Это обусловлено тем, что количество учащихся в группах разное и необходимо учитывать эту пропорцию.

Рассчитаем эту пропорцию. Всего оценок в группе получено 68, из них в первой группе – 32 и во второй – 36. Доля оценок в первой группе составит 32/68 = 0,47; доля оценок во второй группе – 36/68 = 0,53.

Таблица 12.6

Разряды	Эмпирические частоты		Суммы	Теоретические частоты
	В первой группе	Во второй группе		В первой группе	Во второй группе
«5»	14	15	29	13,63	15,37
«4»	5	6	11	5,17	5,83
«3»	8	9	17	7,99	9,01
«2»	5	6	11	5,17	5,83
Сумма	32	36	68	32	36

Итак, во всех строках оценки первой группы должны были бы составлять 0,47 всех оценок по данной строке, а оценки во второй группе – 0,53 всех оценок. Теперь, зная суммы оценок по каждой строке, можно рассчитать теоретические частоты для каждой ячейки таблицы.

Для оценок первой группы:

• f_{1 теор} = 290,47 = 13,63;

• f_{2 теор} = 110,47 = 5,17;

• f_{3 теор} = 170,47 = 7,99;

• f_{4 теор} = 110,47 = 5,17.

Для оценок второй группы:

• f_{1 теор} =290,53=15,37;

• f_{2 теор} =110,53=5,83;

• f_{3 теор} =170,53=9,01;

• f_{4 теор} =110,53=5,83.

Общая формула подсчета f _теор будет выглядеть так:

f теор =	Сумма частот по соответствующей строке	.	Сумма частот по соответствующему столбцу
	Общее количество наблюдений

Теперь оформим вычисление в таблицу 12.7, аналогичную таблице 12.2, представив во втором и третьем столбцах эмпирические и теоретические частоты сначала первой группы, затем второй.

Таблица 12.7

Ячейки таблицы частот	Эмпирическая частота, fэj	Теоретическая частота, fТ	fэj- fТ	(fэj- fТ)^2	(fэj- fТ)^2/ fТ
1	14	13,63	0,37	0,137	0,010
2	5	5,17	-0,17	0,029	0,006
3	8	7,99	0,01	0,000	0,000
4	5	5,17	-0,17	0,029	0,006
5	15	15,37	-0,37	0,137	0,009
6	6	5,83	0,17	0,029	0,005
7	9	9,01	-0,01	0,0001	0,000
8	6	5,83	0,17	0,029	0,005
Сумма	68	68	0		0,041

Число степеней свободы при сопоставлении двух эмпирических распределений определяется по формуле (12.3):

v = (k-1) (с-1), (12.3)

где k –количество разрядов признака (строк в таблице эмпири­ческих частот);

с– количество сравниваемых распределений (столбцов в таб­лице эмпирических частот).

В данном случае количество разрядов – это количество вариантов оценок, т.е. 4. Количество сопоставляемых распределений с=2. Итак, для данного случаяv = (4-1)(2-1) =3.

Определяем по таблице Приложения критические значения для v=3:

.

«Ось значимости»

Ответ

, Н₀ принимается. Распределение оценок по контрольной работе в первой группе учащихся не отличается от распределения во второй группе учащихся.

Если в задаче требуется сопоставление одновременно трех и более распределений, то принцип расчетов такой же, как и при сопоставлении двух эмпирических распределений.

В случае если число степеней свободы v=1, т. е. если признак принимает всего 2 значения, необходимо вносить поправку на непрерывность.

Задача 12.4 [11]

В исследовании порогов социального атома профессиональных психологов просили определить, с какой частотой встречаются в их за­писной книжке мужские и женские имена коллег-психологов. Попыта­емся определить, отличается ли распределение, полученное по записной книжке женщины-психолога X, от равномерного распределения. Эмпи­рические частоты представлены в таблицы:

Мужчин	Женщин	Всего человек
22	45	67

Решение

Гипотезы к задаче

Н₀: Распределение мужских и женских имен в записной книжке Х не отличается от равномерного распределения.

Н₁: Распределение мужских и женских имен в записной книжке Х от­личается от равномерного распределения.

Количество наблюдений n=67; количество значений признакаk=2. Рассчитаем теоретическую частоту:

f_теор = n/k = 67/2 = 33,5.

Число степеней свободы v = k – 1 =1.

Далее все расчеты производятся по известному алгоритму, но с одним добавлением: перед возведением в квадрат разности частот необходимо уменьшить абсолютную величину этой разности на 0,5. Расчеты внесем в таблицу 12.8.

Таблица 12.8

Разряды	Эмпирическая частота, fэj	Теоретическая частота, fТ	fэj- fТ	(fэj- fТ-0,5)	(fэj- fТ-0,5)^2	(fэj- fТ-0,5)^2 fТ
Мужчины	22	33,5	-11,5	11	121	3,61
Женщины	45	33,5	11,5	11	121	3,61
Сумма	67	67	0			7,22

Таким образом, =7,22.

Для v=1 определяем по таблице 8 Приложения 1 критические значения:

.

«Ось значимости»

Ответ

=7,22, Н₀отклоняется, принимаетсяH₁. Распределение мужcких и женских имен в записной книжке психолога Х отличается от равномерного распределения (α<0,01).

Задача 12.5

Психолог сравнивает два эмпирических распределения, в каждом из которых было обследовано 200 человек по тесту интеллекта. Различаются ли между собой эти распределения?

Решение

Гипотезы к задаче

Н₀: Распределения уровней интеллекта в двух равных выборках не отличаются между собой.

Н₁: Распределения уровней интеллекта в двух равных выборках статистически значимо отличаются между собой.

Представим эмпирические данные в виде таблицы 12.9, в которой приведены также предварительные расчеты, необходимые для получения .

Таблица 12.9

Уровни интеллекта	Частоты		f1 f2	f1+ f2	f1 f2 f1+ f2
	f1	f2
60	1	1	1	2	0,50
70	5	3	25	8	3,13
80	17	7	289	24	12,04
90	45	22	2025	67	30,22
100	70	88	4900	158	31,01
110	51	69	2601	120	21,68
120	10	7	100	17	5,88
130	1	2	1	3	0,33
140	0	1	0	1	0,00
Сумма	200	200			104,79

Для случая равенства числа испытуемых в первой и второй выборках расчет производится по формуле (12.4):

, (12.4)

где f₁ – частоты первого распределения;

f₂ – частоты второго распределения;

n– число элементов в каждой выборке.

Произведем расчет по формуле 12.4, основываясь на результатах таблицы 12.9:

.

В данном случае число степеней свободы v = (k-1)(c-1) =(9-1)(2-1) = 8, гдеk– число интервалов разбиения, ас– число столбцов. В соответствии с таблицей 8 Приложения 1 находим:

.

«Ось значимости»

Ответ

, принимается Н₁. Распределения уровней интеллекта в двух равных выборках статистически значимо отличаются между собой (<0,05).

Задача 12.6

Психолог сравнивает два эмпирических распределения, в каждом из которых было обследовано по тесту интеллекта разноеколичество испытуемых. Различаются ли между собой эти распределения?

Решение

Гипотезы к задаче

Н₀: Распределения уровней интеллекта в двух неравных выборках не отличаются между собой.

Н₁: Распределения уровней интеллекта в двух неравных выборках статистически значимо отличаются между собой.

Представим эмпирические данные в виде таблицы 12.10, в которой приведены также предварительные расчеты, необходимые для получения .

Таблица 12.10

Уровни интеллекта	Частоты		f1 f2	f1+ f2	f1 f2 f1+ f2
	f1	f2
60	1	0	1	1	1,00
70	8	0	64	8	8,00
80	23	1	529	24	22,04
90	30	11	900	41	21,95
100	38	18	1444	56	25,79
110	12	14	144	26	5,54
120	7	3	49	10	4,90
130	4	4	16	8	2,00
140	1	1	1	2	0,50
150	0	1	0	1	0,00
Сумма	124	53			91,72

В этом случае расчет производится по формуле 12.5:

, (12.5)

где f₁ – частоты первого распределения;

f₂ – частоты второго распределения;

n₁, n₂– число элементов в первой и второй выборках;

N– сумма числа элементов в обеих выборках.

Произведем расчет по формуле 12.5:

.

В данном случае число степеней свободы v = (k-1)(c-1) =(10-1)(2-1) = 9, гдеk – число интервалов разбиения, ас – число столбцов. В соответствии с таблицей 8 Приложения 1 находим:

.

«Ось значимости»

Ответ

, принимается Н₁. Распределения уровней интеллекта в двух неравных выборках статистически значимо отличаются между собой (<0,01).