3.3 Среднее

Третья мера – среднее выборочное, называемое иногда «средним», «арифметическим средним» или «математическим ожиданием».

Среднее выборочной совокупности пзначений определяется как

или:

. (3.2)

Если даны значения и частоты их повторения, то среднее значение определяется формулой:

. (3.3)

Найдем, например, среднее для значений из задачи 3.1:

Если даны значения в интервале, тогда за x_i берутся середины интервалов.

Соответствующим параметром генеральной совокупности будет средняя генеральной совокупности , которая вычисляется по формуле (3.4), аналогичной формуле (3.2):

, (3.4)

где N– численность или объем генеральной совокупности.

Свойства среднего

1. Сумма всех отклонений от среднего значения равна нулю:

. (3.5)

2. Если константу прибавить к каждому значению, то среднее увеличится ровно на эту константу:

. (3.6)

3. Если каждое значение умножить на константу с, то среднее увеличится всраз:

. (3.7)

4. Сумма квадратов отношений значений от их среднего значения меньше суммы квадратов отклонений от любой другой точки:

. (3.8)

3.4 Мода, медиана и среднее значение объединенных групп

Мы можем знать средние, медианы и моды для трех разных классов школы и желать найти те же характеристики для объ­единения всех трех классов. Пусть известны средние и числа учащихся для трех классов А, В и С:

Среднее объединенных групп находится по формуле:

. (3.9)

В нашем случае среднее групп А, Bи С будет

.

Мода и медиана для объединенных групп вычисляется заново.

3.5 Интерпретация моды, медианы и среднего значения

Каждая мера центральной тенденции имеет интересную ин­терпретацию в терминах ошибок, возникающих из-за того, что единственная статистическая характеристика заменяет все значения в группе. Приведем интерпретацию для моды, медианы и среднего.

1. Смысл, в котором мода является наиболее представительным значением или значением, которое наилуч­шим образом «заменяет все значения», вполне ясен. Если мы вынуждены выбрать одно число для замены любого из значений, то совпадение было бы максимальное число раз, если бы вы­бранное число было модой группы.

2. Интерпретация медианы группы не столь очевидна.

Медиана представляет собой такую точку на числовой оси, для которой сумма абсолютных (тоесть без учета знака) разностей всех значений меньше суммы разностей для любой другой точки:

(3.10)

Если вместо каждого значения выбрать медиану, то достигается минимальная ошибка – при условии, что «ошибка» определяется как сумма абсолютного отличия каждого значения от оценки.

3. Если взамен каждого значения берется среднее, обеспечивается минимальная ошибка – при условии, что «ошибка» определяется как сумма квадратов разностей каждого значения с оценкой.

3.6 Выбор мер центральной тенденции

Выбор меры центральной тенденции требует некоторых размышлений:

1. Мода наиболее просто вычисляется. Для очень больших групп данных это до­статочно стабильная мера центра распределения. Во многих распределениях значительного числа измерений, используемых в педагогике и психологии, мода близка к двум другим мерам – медиане и среднему.

В малых группах мода может быть совершенно нестабиль­ной. Мода группы (1, 1, 1, 3, 5, 7, 7, 8) равна 1; но если одна из единиц превратится в нуль, а другая – в два, то мода станет равной 7.

2. Медиана занимает промежуточное положение между модой и средним с точки зрения ее вычисления, если последнее осуще­ствляется вручную.

На медиану не влияют величины «больших» и «малых» значений. Например, в группе из 50 данных медиана не изме­нится, если наибольшее значение утроится.

3. На величину среднего влияют значения всех результатов, медиана и мода не требуют для определения всех значений.

Если одно какое-нибудь значение меняется на сединиц, изменится в том же направлении нас/пединиц.

На величину среднего особенно влияют результаты, кото­рые можно назвать «выбросами», то есть данные, находящиеся далеко от центра группы оценок.

4. Некоторые множества данных просто «не имеют централь­ной тенденции», что часто вводит в заблуждение при вычислении только одной меры центральной тенденции. Особенно это спра­ведливо для групп, имеющих более чем одну моду.

5. Центральная тенденция групп данных, содержащих край­ние значения, возможно, наилучшим образом измеряется ме­дианой, когда гистограмма унимодальна. Одно крайнее значение может сместить среднее группы гораздо дальше того места, кото­рое вообще стоит рассматривать как центральную область.

На­пример, если 9 человек имеют доходы от 4500 до 5200 тенге со средним 4900 тенге, а доход десятого составляет 20000 тенге, то средний доход для 10 лиц будет 6410 тенге. Эта цифра не позволяет судить обо всей группе, хотя она выглядела внушительно для руководителя маленькой фирмы (чье жалованье составляет 20000 тенге), который хочет охарактеризовать среднюю зарплату по платежной ведомости. В этом примере в качестве меры центральной тенденции следовало бы избрать медиану. Демографы, экономисты и журналисты часто выбирают для отчетов «доход по медиане», поскольку стремятся избежать только что описанной ситуации.

6. В унимодальных выборках, которые симметричны, среднее, медиана и мода совпадают. На рисунке 3.2 полигон частот показывает, что среднее, медиана и мода равны 50.

Рис.3.2. Симметричная унимодальная группа данных

Отсутствие полной симметрии в полигоне частот или гистограмме обычно оказывает определенное влияние на соотношение между средним, медианой и модой. Предположим, что преобладающее большинство данных некоторой группы расположено выше вершины полигона частот, как, например, на рисунке 3.3:

Mo Md

Рис.3.3. Несимметричный полигон частот

На рисунке 3.3 мода (Мо) равна 100, медиана (Md) составляет 105, а среднее = 107,2. Если большинство оценок окажется ниже вершины полигона частот, то среднее станет минималь­ным, медиана больше, а мода максимальной.

Замечание

Существует много других способов определения «центрального значения» в группе данных, например среднее геометрическое и среднее гармоническое.

Среднее геометрическое находится по формуле:

.

Среднее гармоническое используется иногда для усреднения группы отношений:

.

Среднее геометрическое и среднее гармоническое редко встречаются в литературе по педагогике и психологии.

? ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Дайте определение моде, медиане и среднему значению.

2. Найдите среднее, медиану и моду следующих множеств:

• 2, 7, 4, 5, 2;

• 3, 1, 0, 7, 2, 6, 2, 6;

• 1, 7, 3, 8, 3, 3, 9, 11, 9, 12, 9, 12, 13

• 22, 15, 16, 21, 24, 24, 27, 28, 30, 30, 31 , 31, 31, 34, 36.

3. Пусть к каждому из 15 значений последнего множества из упражнения 2 прибавлено 4. Чему будут равны среднее и медиана этих увеличенных значений?

4. В классе А – 10 учащихся, среднее и медиана результатов контрольной работы равны соответственно 4,2 и 4. В классе Б – 20 учащихся, среднее и медиана результатов контрольной работы которых равны 4,3 и 4,5 соответственно. Чему равны среднее и медиана 30 значений , полученных в результате объединения оценок в классах А и Б?

5. На какую меру центральной тенденции влияют значения всех результатов?

ТЕМА 4