12.3 – Критерий колмогорова-смирнова

Назначение критерия 

Критерий предназначен для решения тех же задач, что и критерий²_. Иначе говоря, с его помощью можно сравнивать эмпирическое распределение с теоретическим или два эмпирических распределений между собой. Разница между критериями в том, что при применении²сопоставляются частоты двух распределений, а при применении критериясравниваются накопленные частоты по каждому разряду.

Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных расхождениймежду двумя распределениями является наибольшей, и оценить достоверность этого расхождения.

Если различия между двумя распределениями существенны и в какой-то момент разность накопленных частот достигнет критического значения, можно признать различия статистически достоверны­ми. В формулу критерия включается эта разность. Чем больше эмпи­рическое значение, тем более существенны различия.

Гипотезы

Н₀: Различия междудвумя распределенияминедостоверны (судя по точке максимального накопленного расхождения между ними).

Н₁: Различия междудвумя распределениямидостоверны (судя по точке максимального накопленного расхождения между ними).

Ограничения критерия  Колмогорова-Смирнова

1. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

2. Выборки должны быть случайными и независимыми.

3. Желательно, чтобы суммарный объем двух выборок был больше или равен 50.

4. Сопоставление эмпирического распределения с теоретическим иногда допускается при n 5.

5. Разряды должны быть упорядочены по нарастанию или убыванию какого-либо признака (дни недели, 1-й, 2-й, 3-й месяцы после прохождения курса терапии, повышение температуры тела, усиление чувства недостаточ­ности и т. д.). Во всех тех случаях, когда разряды представляют собой не упорядоченные по возрастанию или убыванию какого-либо признака кате­гории, следует применять метод ².

Задача 12.7

В выборке учащихся одиннадцатых классов городских школ проводилось тестирование по математике. Распределение результатов тестирования представлено в таблице 12.11.

Таблица 12.11

Доля правильных ответов, %	Количество учащихся, получивших результат в данном интервале
0-20%	4
21-40%	15
41-60%	18
61-80%	7
81-100%	1

Можно ли утверждать, что распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ отличается от равно­мерного распределения?

Решение

Н₀: Эмпирическое распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ не отличается от равномерного распределения.

Н₁: Эмпирическое распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ отличается от равномерного распределения.

Эмпирические частости для данного распределения рассчитываются по формуле:

, (12.6)

где f_{j –} частота результата в интервалеj;

n – общее количество учащихся (наблюдений).

Теоретические частости рассчитываются по формуле:

, (12.7)

где k – количество интервалов (разрядов).

Для нашей задачи

.

Для наглядности расчеты оформим в таблицу 12.12.

Для сопоставления накопленных эмпирических и теоретических частостей находим разность между ними и заносим ее в восьмой столбец.

Определим по восьмому столбцу, какая из абсолютных величин разности является наибольшей. Она будет обозначаться d_max. В данном случае d_max=0,222

Таблица 12.12

Доля правильных ответов, %	Частота		Частость		Накопленная частость		Разность
	эмпирическая	теоретическая	эмпирическая	теоретическая	эмпирическая	теоретическая
0-20%	4	9	0,089	0,200	0,089	0,200	-0,111
21-40%	15	9	0,333	0,200	0,422	0,400	0,022
41-60%	18	9	0,400	0,200	0,822	0,600	0,222
61-80%	7	9	0,156	0,200	0,978	0,800	0,178
81-100%	1	9	0,022	0,200	1,000	1,000	0,000
Сумма	45	45	1	1			0,533

Теперь необходимо обратиться к таблице 9 Приложения 1 для определения критических значений d_maxприn=45:

.

«Ось значимости»

Ответ

d_max=0,222, принимаетсяН₁. Эмпирическое распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ отличается от равномерного распределения (при<0,05).

Задача 12.8

В выборке учащихся одиннадцатых классов районных школ проводилось тестирование по математике при помощи теста, аналогичного тесту для городских школ (задача 12.7). Распределение результатов тестирования представлено в таблице 12.13.

Таблица 12.13

Доля правильных ответов, %	Количество учащихся, получивших результат в данном интервале
0-20%	5
21-40%	11
41-60%	5
61-80%	4
81-100%	0

Можно ли утверждать, что распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ отличается от распределения результатов учащихся районных школ?

Решение

Гипотезы к задаче

Н₀: Распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ не отличается от распределения результатов учащихся районных школ.

Н₁:Распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ отличается от распределения результатов учащихся районных школ.

Поскольку в данной задаче сопоставляются накопленные эмпирические частости по каждому разряду, то теоретические частости не вычисляются.

Критерий находится по формуле:

, (12.7)

где п₁ –количество наблюдений в первой выборке;

n₂– количество наблюдений во второй выборке;

d_max– наибольшее из абсолютных величин разности накопленных эмпирических частостей.

По таблице 10 Приложения 1 определить, какому уровню статистической зна­чимости соответствует полученное значение. Если>1,36,различия между распределениями можно считать достоверными. Последовательность выборок может быть выбрана произвольно.

Основные расчеты для нашей задачи оформляются в таблицу 12.14.

Максимальная разность между накопленными эмпирическими частостями составляет 0,218 и попадает на второй разряд.

Таблица 12.14

Доля пра-вильных ответов, %	Эмпирические частоты		Эмпирические частости		Накопленные эмпириче­ские частости		Разность
	f1	f2	f1^*	f2^*	f1^*	f2^*	f1^*-f2^*
0-20%	4	5	0,089	0,200	0,089	0,200	0,111
21-40%	15	11	0,333	0,440	0,422	0,640	0,218
41-60%	18	5	0,400	0,200	0,822	0,840	0,018
61-80%	7	4	0,156	0,160	0,978	1,000	0,022
81-100%	1	0	0,022	0	1,000	1,000	0
Сумма	45	25	1	1

В соответствии с формулой подсчитываем _эмп по формуле (12.7):

.

По таблице 10 Приложения 1 определяем уровень статистической значимости полученного значения: =0,59.

«Ось значимости»

На оси указаны критические значения , соответствующие принятым уровням значимости:_0,05=1,36,_0,01=1,63.

Ответ

, принимается H₀.Распределение результатов тестирования по математике учащихся городских школ не отличается от распределения результатов учащихся районных школ.