2.3 Ранговый порядок

Ранжирование– это расположение данных в порядке возрастания или убывания.

Ранжирование может быть простым и принудительным. При простом ранжировании количество рангов меньше количества ранжируемых признаков. Например, если разделить группу людей, претендующих на должность менеджера, по признаку соответствия предъявляемым требованиям, ранг 1 получат претенденты, соответствующие предъявляемым требованиям, ранг 2 – претенденты частично соответствующие требованиям, ранг 3 – претенденты, не соответствующие требованиям.

В этих случаях не всегда можно все признаки уместить в несколько рангов. Признаки, имеющие один ранг, могут сильно отличаться.

Принудительное ранжированиеиспользуется в случае, когда количество рангов равно количеству признаков.

При принудительном ранжировании разные ранги могут искусственно преувеличивать расстояние между рангами. В разных группах один испытуемый может иметь ранг, отличный от того, какой он имел бы в другой группе.

Правила принудительного ранжирования

1. Наименьшему числовому значению начисляется ранг 1.

2. Наибольшему числовому значению – ранг, равный n– количеству ранжируемых величин.

3. Если несколько числовых значений равны, то им начисляется ранг, равный среднему значению из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны.

4. Правильность начисления рангов проверяется формулой:

, (2.1)

где – сумма всех рангов,

n– количество ранжируемых величин.

5. Не рекомендуется ранжировать более 20 величин, поскольку в этом случае ранжирование в целом окажется малоустойчивым.

6. При необходимости ранжирования достаточно большого числа объектов их следует объединять по какому-либо признаку в достаточно однородные классы, а затем уже ранжировать полученные классы.

Пример начисления рангов для результатов тестирования представлен в таблице 2.3.

Таблица 2.3

Нумерация результатов (механическое ранжирование)	Фамилия	Результат	Ранг
1	Сорокин А.	71	1
2	Андрейченко Н.	73	2
3	Алексеев Л.	75	4
4	Иванов В.	75	4
5	Ростова А.	75	4
6	Липова О.	84	6
7	Кочеткова А.	87	7
8	Васильев Н.	88	8,5
9	Шепетов А.	88	8,5
10	Гроз И.	90	10
Сумма			55

В примере встречаются три значения 75, в обычной нумерации они получили бы ранг 3, 4, 5. Таким образом, каждое из них получает ранг, равный .

Для проверки правильности начисления рангов найдем:

, .

2.4 Распределение частот

При описании общей картины результатов теста список студентов из таблицы можно сократить, классифицируя баллы по распределению частот, иногда называемому распределением.

Числа, показывающие, сколько раз варианты встречаются в данной совокупности, называются частотами, иливесами вариант. Они обозначаютсяf_i и имеют индекс «i», соответствующий номеру переменной.

Частость (относительная частота) – доля каждой частоты f_i в общем объеме выборкиn:

. (2.2)

В таблице 2.4 приведен пример нахождения частоты и частости результатов тестирования из таблицы 2.3.

В случае большого диапазона разброса данных имеет смысл обобщение данных в виде группирования по интервалам. Правила выбора количества интервалов не существует, но предпочтительно группировать по 12-15 интервалам (классам).

Ширина интервалов (класса) должна быть одинаковой и равной

, (2.3)

где h– ширина интервалов;

k– количество классов;

X_max– максимальное значение из данных;

X_min– минимальное значение из данных.

Таблица 2.4

Баллы Хi	Частота fi	Частость wi
71	1	0,1
73	1	0,1
75	3	0,3
84	1	0,1
87	1	0,1
88	2	0,2
90	1	0,1
Сумма	10	1,0

Количество классов выбирается таким образом, чтобы ширина была целым числом.

Задача 2.1

Данные из таблицы 2.4 необходимо разбить на интервалы, найти середины интервалов, а также частоту и частость в интервалах.

Максимальный балл равен 90 баллам, минимальный – 71. Ширина определяется по формуле (2.3):

.

Для того чтобы ширина была целым числом, количество интервалов должно быть или 4, или 5, или 10.

Найдем ширину интервалов при количестве интервалов, равном пяти:

.

Определение середины интервала состоит в усреднении зафиксированных границ интервала. Например, для первого интервала середина будет (74+71)/2=72,5. Занесем все вычисления в таблицу 2.5.

Таблица 2.5

Интервал	Середина интервала	Частота	Относительная частота
71-74	72,5	2	0,2
75-78	76,5	3	0,3
79-82	80,5
83-86	84,5	1	0,1
87-90	88,5	4	0,4
Сумма		10	1,0