6.1 Хеджирование при помощи опциона колл. Определение коэффициента хеджирования
Для построения полностью захеджированного портфеля покупается 1 единица базисного актива с одновременной продажей Н опционов. Если портфель будет полностью захеджирован, то его стоимость будет одинакова независимо от того, поднимется или опустится цена базисного актива.
Пример 1
Цена базисного актива S=35д.е., цена исполнения опциона Х=35 д.е., безрисковая процентная ставка r=10%. Срок действия опциона – 1 год. В конце года ожидают, что цена актива либо поднимется на 25% (u=1,25), либо упадет на 25% (d=0,75) (см. рис.11). При этом должно соблюдаться условие d<1+r< u.. С-премия по опциону колл.
S
u =43,75 д.
е.
cu=Max [0; Su–X]= 8,75 д.е.
S
cu
– премия по опциону при повышении цены
актива
Sd =26,25 д.е.
cd=Max [0; Sd – X]= 0
cd – премия по опциону при понижении цены актива
Рисунок 11. Стоимость опциона колл при повышении и понижении цены
базисного актива S
Безрисковое хеджирование состоит в покупке базисного актива и продаже опционов. На рис. 12 показана стоимость портфеля инвестора после хеджирования.
Su
--H·cu=26,25 д.е.
S-Hc
Sd– H·cd =26,25 д.е.
Рисунок 12. Определение количества опционов колл при безрисковом
хеджировании
Амплитуда цен базисного актива S∙(u-d)
Амплитуда стоимостей опционов cu–cd, тогда коэффициент (Н) равен:
Ответ: безрисковое хеджирование состоит в покупке 1ед. базисного актива и продаже двух опционов, цена исполнения которых равна 35ед.
Результаты на момент окончания периода:
если цена актива возрастет до 43,75 д.е., то стоимость портфеля составит Su – H·cu=35 ∙1,75 – 2·8,75=26,25 д.е.
если цена актива упадет до 26,25д.е, то стоимость портфеля составит S·d – H∙cd= 35·0,75–2∙0=26,25 д.е.
Таким образом, стоимость портфеля инвестора не зависит от колебания цены базисного актива и остается равной 26,25 д.е.
Пример 2.
Определить стоимость опциона при условии, что стратегия инвестора является безрисковой. Стоимость портфеля, состоящего из длинной позиции по S и короткой по двум опционам на конец года составит:
Su-H·cu= 26,25д.е.
Дисконтируем доход по безрисковой ставке 10%.
26,25/1,1=23,86
S -H·c=35-23,86=11,14
Цена 1 опциона =11,14/2=5,57
R·(S –Hc)=S∙u – H∙cu; R=1+r,
R·H·c= R·S – Su + H·cu
,
,
где r – безрисковая процентная ставка.
Цена опциона колл со сроком 1 год до момента исполнения:
.
Если
принять
,
тогда
.
Если cu=8,75; cd=0; R=1,1
;
Ответ: Установленная стоимость портфеля: S-H·c=35-2·5,57=23,86.
Сумма, авансированная под безрисковую процентную ставку на 1 год, составит: 23,86·1,1=26б25 д.е. Это является точной стоимостью захеджированного портфеля в конце года.
Биномиальная модель допускает возможность создания безрискового портфеля посредством хеджирования длинной позиции по активу короткой позицией по опциону.
Для дисконтирования используется безрисковая ставка, так как если портфель захеджирован, то он будет безрисковым и должен характеризоваться безрисковой процентной ставкой.
Задача 6.1
Определить количество купленных единиц базисного актива на один проданный опцион и стоимость опциона колл, если известно, что инвестор желает сформировать безрисковый портфель из базисного актива и европейского опциона колл (см. табл. 61).
Таблица 61 Исходные данные
Вариант |
Текущая цена базисного актива S, д.е. |
Цена исполнения опциона колл, X, д.е. |
Изменение S, % (+/–) |
Срок опциона колл, месяцы |
Безрисковая годовая процентная ставка r, % |
0 |
100 |
110 |
20 |
12 |
10 |
1 |
80 |
85 |
25 |
9 |
8 |
2 |
75 |
80 |
15 |
4 |
12 |
3 |
70 |
72 |
30 |
5 |
6 |
4 |
85 |
90 |
20 |
6 |
8 |
5 |
90 |
95 |
12 |
3 |
10 |
6 |
120 |
120 |
16 |
12 |
6 |
7 |
150 |
160 |
18 |
8 |
12 |
8 |
180 |
182 |
20 |
4 |
6 |
9 |
200 |
210 |
35 |
6 |
8 |
Примечание: количество базисного актива может быть выражено дробным числом; модель опциона – биномиальная однопериодная.