6.2. Многопериодная биномиальная модель оценки опциона колл

Применение биномиальной модели позволяет определить будущую стоимость опциона и затем методом дисконтирования найти текущую стоимость опциона.

Премия по опциону (т.е. его стоимость) не является, как правило, постоянной величиной, т. к. цена базисного актива с течением времени меняется. Опционы являются объектами купли-продажи и участники опционных сделок могут понести потери, если они не будут осуществлять мониторинг стоимости опционов.

Срок действия опциона может быть разделен на любое количество периодов или биномиальных испытаний. Чем больше количество за данный период, т.е. чем меньше временной период соответствует каждому испытанию, тем точнее будет определена стоимость опциона.

Для определения стоимости опциона применяют следующие методы:

1. метод Кокса, Росса и Рубинштейна;

2. формулу биномиального распределения (формулу Бернулли).

Пример

Цена базисного актива S=35, цена исполнения опциона X=35, r=10%,σ =20%. Год разделен на 4 периода или 4 биномиальных испытаний. Построить биномиальную решетку.

Решение:

1) Кокс, Росс и Рубенштейн (1979) доказали что:

;

,

где (Т-t)- время до истечения опционного контракта, выраженного в годах;

n – количество биномиальных испытаний;

σ – годовая волатильность цены базисного актива, %.

Для построения биномиальной решетки вводится допущение u=1/d,

=1,10517

=0,904837

=1,024

.

Рассмотрим, как определяется стоимость опциона на примере одного биномиального испытания.

Значения Su и Sd найдены в примере 6.1, стоимость опциона найдем по формуле:

S u=38,68; S d= 31,67;

c=[0,59539·6,48+0,40461·1,52]/1,024=4,37

cu=[0,59539 ·9,38+0,40461·2,62]/1,024=6,48

cd =[0,59539·2,62+0]/1,024=1,52

2) Для определения стоимости опциона в дискретных отрезках времени может быть также использована формула Бернулли (общая биномиальная формула оценки опциона).

,

где с- стоимость опциона на покупку (колл);

n- общее количество биномиальных испытаний;

j- количество движений цены базисного актива вверх;

n-j- количество движений цены базового актива вниз.

Все остальные обозначения были указаны ранее.

Расчет текущей величины премии опциона после роста цены базисного актива в течение 4 периодов (u⁴): ден.ед.

Расчет премии после роста цены в течение 3 периодов и одного падения в последний период (u³d):

ден.ед.

Значение премии после роста цены в течение двух периодов и последующих двух падений (u²d²):

ден.ед.

Значение премии после роста цены в течение одного периода и трех падений (ud³):

ден.ед.

Значение премии после падения цены в течении четырех периодов (d⁴):

ден.ед.

ден.ед.

В приложении В представлена биномиальная решетка определения стоимости опциона

Задача 6.2.

Определить цену опциона колл при помощи:

1. построения биномиальных решеток для 6 испытаний;

2. общей биномиальной формулы оценки опциона (формула Бернулли);

Сравнить результаты расчетов.

Для расчетов использовать данные табл.62.

Таблица 62 Исходные данные

Вариант	Цена базисного актива S, д.е.	Цена исполнения опциона колл, X, д.е.	Годовая волатильность цены базисного актива, σ, %	Безрисковая годовая процентная ставка r, %
0	40	40	20	8
1	45	47	15	10
2	50	52	25	12
3	55	58	20	8
4	60	65	15	10
5	65	70	25	12
6	70	72	20	8
7	75	78	25	10
8	80	85	15	12
9	85	88	20	8