1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
Нехай
на відрізку [a;b] задано довільну функцію
f(x).
Візьмемо
(T)-розбиття
цього відрізка. У кожному відрізку [
]
цього (T)-
розбиття візьмемо по одній точці
[
]
(k=0,1,2,…,n-1) і складемо суму
S(T)=
,(4)
.Ця
сума називається інтегральною
сумою,
складеною для функції
f(x)
,даного (T)-
розбиття відрізка [a;b] при даному виборі
точок
[
]
(k=0,1,2,…,n-1).
Число
I
називається
границею
інтегральної суми
(4) при
,якщо для будь-якого числа
існує число
,
таке, що
(5)
для
будь-якого (T)-
розбиття(1) відрізка [a; b],для якого
.
Якщо
число І
є границею інтегральної суми при
,то
символічно це записують так
Якщо
при
інтегральна
сума (4) має границю ,то ця границя
називається визначеним
інтегралом
або інтегралом
Рімана
від функції f(x)
на
відрізку [a;b] і позначається
,а
функція f(x)
при
цьому називається інтегрованою(за
Ріманом ) на цьому відрізку. Таким чином,
=
.(6)
Теорема 1. (Необхідна умова інтегрованості) Якщо функція f(x) інтегрована (за Ріманом) на відрізку [a; b], то вона обмежена на цьому відрізку.
Доведення. Нехай f(x)- необмежена функція, означена на відрізку [a; b].
Візьмемо
довільне (T)-
розбиття (1) відрізка [a; b]. Оскільки
функція f(x)
необмежена
на відрізку [a; b], то вона необмежена
принаймні на одному з відрізків (T)-
розбиття(1). Нехай це буде відрізок
.
Позначимо
.
Точку
виберемо так, щоб
Легко помітити, що
.(7)
Якби
функція f(x)
була інтегрованою на відрізку [a; b], то
для всіх досить малих
інтегральної суми, задовольняючи
нерівність (5), були б обмеженими. А з (7)
випливає, що серед таких інтегральних
сум є як завгодно великі. Цим теорему
доведено.
Однак не всяка функція, обмежена на відрізку [a; b], інтегрована на цьому відрізку. Розглянемо функцію Діріхле
Якщо
всі
[
]
(k=0,1,2,…,n-1) - раціональні точки, то
Якщо
ж всі
[
]
(k=0,1,2,…,n-1) є ірраціональні точки, то
Таким чином, інтегральні суми, складені для функції Діріхле, не можуть прямувати до означеної границі при .
Функція Діріхле неінтегровна на відрізку [a; b], хоч і обмежена на цьому відрізку. Нехай функція f(x) обмежена на відрізку [a; b]. Візьмемо (T)- розбиття(1) цього відрізка.
Позначимо:
Суми
і
називаються відповідно нижньою
і верхньою сумами Дарбу,
складеними для функції f(x)
і даного (T)-
розбиття(1) відрізка [a; b].
Число
називається нижнім
інтегралом Дарбу функції
f(x)
на
відрізку [a; b].
Число
називається верхнім
інтегралом Дарбу
функції f(x)
на відрізку [a; b].
Теорема Дарбу.
Для
будь–якої функції f(x),
неперервної на відрізку [a;b],
правильні рівності
, 
Теорема 2. Для того щоб функція f(x), означена на відрізку [a; b], була інтегрована (за Ріманом) на цьому відвізку, необхідно й достатньо, щоб вона була обмежена на відрізку [a; b] і щоб її нижній інтеграл Дарбу на відрізку [a; b] дорівнював її верхньому інтегралу Дарбу на цьому відрізку.
Доведення.
Необхідність.
Нехай f(x)-
функція, інтегрована на відрізку [a; b].
Тоді за теоремою 1 ця функція обмежена
на цьому відрізку. Візьмемо довільне
(T)-
розбиття (1) відрізка [a;b]. Для числа
внаслідок властивості нижньої грані,
існує точка
[
]
така, що
Таким чином,
(1)
Оскільки
функція f(x)
інтегрована за Ріманом на відрізку [a;
b], то існує границя
За
теоремою Дарбу,
Переходячи до границі при в нерівностях (1), дістанемо
Отже,
(2)
Для
числа
,
внаслідок властивості верхньої грані,
існує точка
[
]
така, що
(k=0,1,2,…,n-1).
Звідси
Оскільки
функція f(x)
інтегрована за Ріманом на відрізку [a;
b], то
.
За
теоремою Дарбу,
Переходячи до границі при в нерівностях(3), знайдемо
Звідси
і з (2) дістаємо :
.Необхідність
доведено.
Достатності. Нехай f(x) –функція, обмежена на відрізку [a;b], і нехай .
За властивістю 1) сум Дарбу маємо
(4)
За теоремою Дарбу, ,
Оскільки
,
то з нерівностей (4) випливає існування
границі
і правильність рівностей
=
,
а це означає, що функція f(x)
інтегрована за Ріманом на відрізку [a;
b].Теорема доведена.
Теорема 3. Всяка функція, неперервна на відрізку, інтегрована за Ріманом на цьому відрізку.
Доведення.
Якщо функція f(x),
неперервна на відрізку [a; b], то за першою
теоремою Веєрштрасса вона обмежена на
цьому відрізку. Задамося числом
.
Тоді для числа
за теоремою Кантора існує число
таке, що
.
Для
будь-яких точок
[a; b], для яких
.
Візьмемо довільне (T)-
розбиття(1) відрізка [a; b], для якого
.
Функція f(x), будучи неперервною на відрізку [a; b], неперервна на кожному відрізку [ ] (T)- розбиття(1).
За
другою Вейєрштрасса, існують точки
[
]
такі, що
(k=0,1,2,…,n-1).
Оскільки
то внаслідок нерівності (7) маємо
(k=0,1,2,…,n-1).
Звідси
.
А це означає, що правильна рівність (6). Таким чином, для функції f(x), неперервної на відрізку [a; b], виконані умови теореми 2.Теорема доведена.
2. Функції у мові С. Фактичні та формальні параметри.