1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаменталь­на система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння

. (1)

Через L(y) позначимо результат застосування до функції у сукупності операцій (диференціювання, множення на функції і додавання), вказаних у лівій частині рівняння (1). При цьому L(y) називають ліній­ним диференціальним оператором. Властивості лінійного операто­ра L(y):

1) (2)

де у₁ і у₂ – будь-які п разів диференційовні функції (тобто оператор суми дорівнює сумі операторів).

2) . (3)

де у — будь-яка п разів диференційовна функція, а С - деяка ста­ла (тобто сталий множник можна винести за знак лінійного оператора).

З'ясуємо тепер деякі властивості розв'язків лінійного однорідного рівняння (1).

Теорема 1. Якщо функції у₁(х) і у₂(х) є розв'язками рівняння (1), то й функція у₁(х) + у₂(х) також є розв'язком цього рівняння.

Доведення. Оскільки у₁(х) та у₂(х) є розв'язками рівняння (1), то враховуючи, що і , матимемо

тобто функція у₁(х) + у₂(х) є розв'язком диференціального рівняння (1). Теорему доведено.

Теорема 2. Якщо функція у₁(х) є розв'язком рівняння (1), то й функція Су₁(х) також є розв'язком цього рівняння.

Доведення. Враховуючи, і , матимемо . Теорему доведено.

Наслідок. Якщо функції у₁(х), у₂(х), ...,у_п(х) є розв'язками лінійного однорідного рівняння (1), то й функція

, (4)

де С_і, і = 1, 2, ...,п – довільні сталі, також є розв'язком цього рівняння.

Нехай функції

в інтервалі (а; b) мають похідні до (п - 1)-го порядку включно. Тоді визначник

(5)

називають визначником Вронського (вронскіаном) цих функцій.

Теорема З. Якщо функції в інтервалі (а; b) лінійно залежні, то їх визначник Вронського тотожно дорівнює нулю.

Теорема 4. Якщо розв'язки диференціаль­ного рівняння (1) лінійно незалежні в інтервалі (а; b), то їх визначник Вронського не дорівнює нулю в жодній точці цього інтервалу.

Теорема 5. Для того щоб розв'язки дифе­ренціального рівняння (1) були лінійно незалежними в інтервалі (а; b), необхідно і достатньо, щоб визначник Вронського (5) не дорівнював нулю хоча б в одній точці цього інтервалу.

Будь-яку систему з п лінійно незалежних розв'язків лінійно­го однорідного рівняння (1) називають фундаментальною системою розв'язків даного рівняння.

Теорема 6. Будь-яке лінійне однорідне диференціальне рів­няння має фундаментальну систему розв'язків.

Теорема 7. Якщо розв'язки лінійного однорідного рівняння (1) утворюють фундаментальну систему розв'язків в інтервалі (а; b), то загальний розв'язок цього рівнян­ня в області

матиме вигляд

(6)

де C_і і = 1,2,..., п, - довільні сталі.

Якщо маємо однорідне лінійне рівняння другого порядку

(7)

коефіцієнти якого неперервні в інтервалі (a; b),

то — формула Остроградського-Ліувілля. Вона виражає вронскіан фундаментальної системи розв’язків рівняння (7) через коефіцієнт цього рівняння. Користуючись цією формулою, можна показати, що коли відомий один частинний розв’язок однорідного рівняння (7), то його загальний розв’язок можна записати у вигляді

(8)

де і — довільні сталі.

Білет 27