Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
Досить часто інтерполювання ведеться для функцій з рівновіддаленими вузлами. Наприклад, при знаходженні похідних чи інтегралів потрібно мати аналітичний вираз для функцій заданих таблицями з рівновіддаленими значеннями аргументу. У цьому випадку крок таблиці h = xi+1–xi (і=0,1,2,...) є величиною постійною. Для таких таблиць побудова інтерполяційних формул (як і обчислення по цих формулах) помітно спрощується.
Скінченні різниці
Нехай функція задана таблицею з постійним кроком. Різниці між значеннями функції в сусідніх вузлах інтерполяції називаються скінченими різницями першого порядку: yi= yi+1–yi.
З конечних різниць першого порядку утворяться скінченні різниці другого порядку: 2yi =yi+1–yi, (i = 0, 1, 2, ...).
Продовжуючи цей процес, можна по заданій таблиці функції скласти таблицю скінчених різниць.
Скінченні різниці будь-якого порядку можуть бити представлені через значення функції. Дійсно, для різниць першого порядку це випливає з означення. Для різниць другого порядку маємо: 2yi =yi+1–yi=(yi+2–yi+1)–(yi+1–yi)=yi+2–2yi+1+yi.
Аналогічно для різниць третього порядку:
3yi =2yi+1–2yi=(yi+3–2yi+2+yi+1)–(yi+2–2yi+1+yi)=yi+3–3yi+2+3yi+1–yi
і т.д.
Перша інтерполяційна формула Ньютона
Інтерполювання поліномами Лагранжа є універсальним методом. При рівновіддалених вузлах математичну модель будують дещо іншим методом. Нехай для функції, заданою таблицею з постійним кроком, складена таблиця конечних різниць. Будемо шукати інтерполяційний многочлен у вигляді:
P(x)=a0+a1(x–x0)+ a2(x–x0)(x–x1)+…+an(x–x0)(x–x1)…(x–xn–1).
Це многочлен п-го ступеня. Значення коефіцієнтів a0, a1, a2, …, an знайдемо з умови співпадання значень вихідної функції і многочлена у вузлах інтерполювання. Поклавши х= х0, знаходимо у0=Р(х0)= a0, звідки а0 = у0.
Далі, надаючи х значення x1 й х2, послідовно одержуємо:
у1=Р(х1)=a0+a1(x1–x0),
звідки a1=
;
у2=Р(х2)=a0+a1(x2–x0)+a2(x2–x0)(x2–x1),
тобто
у2–2y0–у0=2h2a2
,
або
у2–2y1+у0=2h2a2.
Звідки a2=
.
Далі,
провівши аналогічні міркування у
загальному випадку вираження для ak
буде
мати вигляд: ak=
.
Підставимо тепер одержані значення коефіцієнтів у вираз для многочлена:
P(x)=
у0+
(x–x0)+
(x–x0)(x–x1)+…+
(x–x0)(x–x1)…(x–xn–1).
На практиці ця формула застосовується в дещо іншому вигляді.
Покладемо
=t,
тобто х=x0+ht.
Тоді:
=
=t–1,
=
=t–2
і т.д.
Остаточно
маємо: P(x)=P(x0+ht)=у0+tу0+
2у0+…+
nу0.
Ця формула називається першою інтерполяційною формулою Ньютона. Вона застосовується для інтерполяції на початку відрізка інтерполяції, коли t мале по абсолютній величині. Першу інтерполяційну формулу Ньютона називають по цій причині формулою для інтерполяції вперед. За початкове значення x0 можна приймати будь-яке табличне значення аргументу х.
Друга інтерполяційна формула Ньютона
Коли значення аргументу знаходиться ближче до кінця відрізка інтерполяції, застосовувати першу інтерполяційну формулу стає не вигідно. У цьому випадку застосовується формула для інтерполювання назад – друга інтерполяційна формула Ньютона, що відшукується у вигляді:
P(x)=a0+a1(x–xn)+ a2(x–xn)(x–xn–1)+…+an(x– xn)(x– xn–1)…(x–x1).
Як
і для першої формули Ньютона, коефіцієнти
знаходяться з умови співпадання значень
функції і многочлена у вузлах
інтерполювання. Підставляючи їх (ak=
)
в попередню формулу і перейшовши до
змінної t
=
,
одержимо остаточний вигляд другої
інтерполяційної формули Ньютона:
P(x)=P(xn+ht)=уn+tуn–1+
2уn–2+…+
nу0.
Білет 30