1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.

Постановка задачі

Часто задачі зводяться до відшукання розв’язку певного ди­фе­рен­ціального рівняння (або системи таких рівнянь), який задо­воль­няє певні початкові умови (задача Коші). Проінтегрувати та­ке рівняння в скінченому вигляді вдається досить рідко. На прак­ти­ці здебільшого застосовують наближене інтегрування диферен­ціаль­них рівнянь.

Задача Коші для диференціального рівняння 1–го порядку

y=f(x,y) (1)

полягає у відшуканні функції y=y(x), яка задовольняє цьому рів­нян­ню і початковій умові

y(x₀)=y₀, (2)

де x₀, y₀– задані числа.

Задача Коші для системи диференціальних рівнянь

(3)

полягає у відшуканні функції y₁,y₂,...y_n, які задовольняють даній сис­темі і початковим умовам

y₁(x₀)=y₁₀, y₂(x₀)=y₂₀, ...., y_n(x₀)=y_n0 (4)

Задача Коші для диференціального рівняння n-го порядку

y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y,..., y^(n–1)) (5)

полягає у відшуканні функції y=y(x), що задовольняє рівняння (5) і початковим умовам

y(x₀)=y₀ , y(x₀)=y¹₀,...,y^(n–1)(x₀)=y^n–1₀

Наближені методи в залежності від форми, в якій вони по­да­ють розв’язок, можна поділити на дві групи: аналітичні методи, які дають наближений розв’язок дифе­рен­ціального рівняння у виг­ляді аналітичного виразу; чисельні методи, які дають наб­ли­же­ний розв’язок у виг­ля­ді таблиці. Надалі припускається, що для розглядуваних рівнянь і систем рівнянь виконуються умови іс­нування і єдиності розв’яз­ку.

Якщо відомий наближений розв’язок задачі (1)–(2) в точці х_к, то проінтегрувавши рівняння (1) в межах від х_к до х_к+1 , знайдемо його розв’язок в точці х_к+1 за формулою

у(х_к+1)= у(х_к)+ . (5)

Саме ця формула є вихідною для побудови багатьох чисельних ме­тодів розв’язування задачі (1)–(2).

Метод Ейлера. Якщо інтеграл в правій частині рівності (5) об­чис­лити за формулою лівих прямокутників, то знайдемо

у(х_к+1)=у(х_к)+hf(х_к,у(х_к))+O(h²).

Відкинувши в цій рівності доданок порядку O(h²), дістанемо розрахункову формулу

у(х_к+1)=у(х_к)+hf(х_к,у(х_к)) (k=0,1,2,..,n–1), h=х_к+1–х_к, (6)

яку називають формулою Ейлера.

Якщо інтеграл в правій частині рівності (5) обчислити за формулою трапецій, то знайдемо

у(х_к+1)=у(х_к)+h(f(х_к, у(х_к))+f(х_к+1,у(х_к+1)))+O(h³). (7)

Невідоме значення у(х_к+1), що входить до правої частини цієї рів­ності, можна обчислити за формулою (6). Підставивши його в пра­ву частину рівності (7), дістанемо рівність

у(х_к+1)=у(х_к)+ (f(х_к, y(х_к))+f(х_к+1,y(х_к)+hf(х_к ,y(х_к))+O(h²)))+

+O(h³)=y(х_к)+ (f(х_к,y(х_к))+(f(х_к+1,y(х_к)+hf(х_к,y(х_к)))+O(h³).

Звідси матимемо такі розрахункові формули

_k+1=y_khf(х_к,y_k), y_k+1=y_k+ (f(х_к,y_k)+f(х_к+1, _k+1)),

які називають узагальненими формулами Ейлера-Коші.

Метод Ейлера легко переноситься на системи диференціальних рівнянь і на диференціальні рівняння вищих порядків. Розг­ля­не­мо систему двох рівнянь першого порядку:

з початковими умовами y(x₀)=y₀, z(x₀)=z₀. Наближені значення y(x_i)=y_i i z(x_i)=z_i обчислюються за формулами

Для диференціального рівняння n-го порядку вводять заміну y=y₁, y=y₂,...,y^(n–1)=y_n–1 і приходять до задачі (3)–(4), де f₁=y₁, f₂=y₂,..., f_n–1=y_n–1, f_n(x,y₁,...,y_n–1,y_n)=f(x,y,...,y^(n–1),y).

Метод Рунге-Кутта. У роботі задача Коші розв’язувалась ме­то­да­ми Ейлера. Однак вони дають порівняно великі похибки. Точ­ні­шими, хоча і гро­міст­кішими є методи Рунге-Кутта. Такі ме­то­ди побудовано до 10-го порядку точності включно. В об­чис­лю­вальній практиці найчастіше використовують методи Рун­ге-Кутта четвер­того порядку точності. Алго­ритм полягає у слідуючому.

Позначимо через h крок таблиці і побудуємо систему рівновід­далених точок x_i=x₀+ih (i=0,1,2...). За методом Ейлера наближене значення y(x_i)=y_i обчислюється послідовно за формулами:

(i=0,1,2....)

За методом Рунге-Кутта обчислення наближеного значення y_i+1 в наступній точці x_i+1=x_i+h виконується за такою ж формулою як і при методі Ейлера: . Однак обчислюється більш точно за формулою: