1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.

Об’єм тіла обертання

Візьмемо криволінійну трапецію aABb, обмежену графіком функції y= f(x), неперервної і невід’ємної на відрізку [a; b], віссю Ох і прямими x=a і x=b.

Цю криволінійну трапецію, як тверде тіло, обертатимемо навколо осі Ох. При цьому криволінійна трапеція опише деяке тіло, яке називається тілом обертання.

Візьмемо (T)- розбиття відрізка [a; b],

Позначимо через (k=0,1,2,…,n-1).

Розглянемо прямокутники і , основами яких є відрізок [ ] і

висоти яких відповідно дорівнюють (k=0,1,2,…,n-1).При обертанні криволінійної трапеції aABb навколо осі Ох і прямокутники і (k=0,1,2,…,n-1), кожний з яких опише прямий коловий циліндр.

Позначимо через тіло, яке складається з прямих колових циліндрів, описаних прямокутниками (k=0,1,2,…,n-1), а через - тіло, що складається з прямих колових циліндрів, описаних прямокутниками (k=0,1,2,…,n-1). Легко помітити, що тіло цілком міститься в тілі , утвореному обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції aABb, а тіло само цілком містить у собі це тіло .

Об’єми прямих колових циліндрів, утворених обертанням навколо осі Ох прямокутників і , дорівнюють відповідно і , тому

Об’єм = , об’єм = .(2)

Обємом тіла обертання називається спільна границя (якщо вона існує), до якої прямують об’єми тіл і при , тобто спільна границя сум (2).

Суми (2) є відповідно нижньою і верхньою сумами Дарбу, складеними для функції і (T)- розбиття(1) відрізка [a; b]. Оскільки f(x)- неперервна функція на відрізку [a; b], то на цьому відрізку буде неперервною, а отже, і інтегрованою і функція . Тому при суми (2) (а отже, і об’єми тіл і ) прямуватимуть до однієї й тієї ж границі V, що дорівнює визначеному інтегралу .

Таким чином, об’єм V тіла , утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції aABb, обчислюється за формулою :

Площа поверхні обертання

Нехай спрямлювана крива АВ задана рівняннями (1),де і —функції, неперервні разом з своїми похідними пер­шого порядку на відрізку , причому

для

і кожним двом різним значенням (за винятком, можливо, значень і ) відповідають дві різні точки кривої АВ. Візьмемо довільну фіксовану точку і € [а; р] і їй відповідну точку на кривій АВ. Довжина дуги АМ дорівнює

Ясно, що l(t) — неперервна монотонно зростаюча функція на відрізку [0; L], де — довжина всієї кривої АВ. Така функція має обер­нену. Позначимо її через . Функція не­перервна на відрізку [0; L]. Підставивши цю функцію в рівняння кривої (1), дістанемо

(2)

де і — неперервні функції від l на відрізку [0; L]. Ми дістали параметричні рівняння (2) кривої АВ, в яких роль параметра виконує l — довжина дуги АМ. Скористаємось цими рів­няннями для знаходження площі поверхні, утвореної обертанням кривої АВ навколо осі Ох на 360°.

Для цього візьмемо (Т) - розбиття відрізка [0; L]:

(3)

Позначимо

З'єднавши точки послідовно відрізками , дістанемо вписану ламану лінію . Позначимо через площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох на 360° цієї ламаної.

Площею поверхні, утвореної обертанням кривої АВ навколо осі Ох на 360°, називається границя при площі поверхні, утво­реної при цьому обертанні впи­саної ламаної P(T), тобто

(4)

Позначимо через довжину відрізка (рис. 61).

При обертанні навколо осі Ох вписаної ламаної відрізок

при цьому опише зрізаний конус, площа бокової поверхні якого

дорівнює звідси

(5)

Треба знайти границю суми (5) при . Проте ця сума не є інтегральною, оскільки , взагалі кажучи, не є . Перетворимо суму (5) так, щоб границю перетвореної суми можна було легко знайти. Маємо:

(6)

Суми і , будучи інтегральними сумами, складеними для неперервної функції і (Т) - розбиття (3) відрізка [0; L], при прямують до границі, що дорівнює . Таким чином,

(7)

Покажемо, що границя при другої суми, яка стоїть у правій частині рівності (6), дорівнює нулю. Дійсно, функція , будучи неперервною на відрізку [0, L], обмежена на цьому відрізку: . Отже,

(8)

Оскільки крива AВ cпрямлювана, то при довжина вписаної ламаної P(Т), що дорівнює , прямує до довжини L кривої АВ. Звідси і з (8) випливає, що границя другої суми, яка стоїть у правій частині рівності (6), дорівнює нулю. З (4), (6) і (7) маємо

(9)

За цією формулою і обчислюють площу поверхні, утвореної обер­танням навколо осі Ох на 360° спрямлюваної кривої АВ.

Якщо крива АВ задана рівняннями (1), де і — функції, неперервні разом із своїми похідними першого порядку на відрізку , то площа поверхні обертання визначається за формулою

(10)

Дійсно, формула (10) виходить з формули (9) за допомогою підстановки.

Якщо крива АВ в декартових прямокутних координатах задана рівнянням , де — функція, неперервна разом із своєю похідною першого порядку на відрізку [а; b], то площу поверхні обертання обчислюють за формулою яка є окремим випадком формули (10).

2. Лінійне програмування (ЛП). Приклади задач лінійного програмування (ЗЛП). Загальна та канонічна форми запису ЗЛП. Ознака оптимальності базисного допустимого розв’язку ЗЛП. Ознака необмеженості цільової функції ЗЛП на допустимій множині. Симплекс-метод розв’язування ЗЛП.

Лінійне програмування (ЛП).

Однією з найважливіших задач оптимізації є задача математичного програмування, що полягає у відшуканні найбільшого або найменшого значення функції f(x) при обмеженнях , .

Якщо функції f(x), , - лінійні, а область Х задається лінійними обмеженнями вигляду , зокрема, , , то така задача математичного програмування називається задачею лінійного програмування (ЗЛП).

Приклади задач лінійного програмування.