- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
Нехай функція f (х) означена на множині N = {1,2,3,...,n...} всіх натуральних чисел. Така функція називається числовою послідовністю. Якщо позначити f (n) через уn, то числову послідовність можна записати у вигляді {уп}. При цьому у1 називається першим членом послідовності, у2 — другим і т. д., уп — енним або загальним членом послідовності.
Число А називається границею числової послідовності {yп}, якщо для будь-якого числа > 0 існує натуральне число таке, що для всіх . Символічний запис: або .
Якщо послідовність {уп} має границю А, то геометрично це означає, що всі члени цієї послідовності, починаючи з номера , потрапляють в інтервал , тобто в -окіл точки А. Що ж до членів у1,у2, . . ., , то про них в означенні границі нічого не говориться і, отже, вони можуть потрапляти в -окіл точки А, можуть знаходитись і поза цим околом. Числова послідовність, що має границю, називається збіжною, а та, що не має границі, — розбіжною.
Якщо {уп} — задана послідовність і — яка-небудь зростаюча послідовність натуральних чисел, то послідовність називається підпослідовністю послідовності {уп}. З означення границі послідовності випливає правильність твердження: якщо послідовність {уп} має границю А, то й будь-яка її підпослідовність має ту саму границю А.
Справді, якщо число А є границею послідовності {уп}, то для будь-якого числа в – окіл точки А потрапляють усі члени цієї послідовності, починаючи з деякого. Проте тоді в цей окіл потрапляють і всі члени підпослідовності починаючи з деякого. А це означає, що число А є границею підпослідовності .
Поняття часткової границі. Нехай дано числову послідовність . Точка А називається частковою границею послідовності , якщо в будь-який окіл цієї точки потрапляє нескінченна множина членів цієї послідовності. Наприклад, послідовність має дві часткові границі 1 і -1. Справді, в будь-який окіл точки 1 (точки -1) потрапляють усі члени послідовності з непарними (з парними) індексами, а їх нескінченна множина. Інших часткових границь, відмінних від 1 і -1, ця послідовність не має.
Якщо послідовність збігається, то її границя одночасно є і її єдиною частковою границею. Обернене твердження, взагалі кажучи, неправильне. Послідовність
має єдину часткову границю, що дорівнює 1. Однак ця послідовність є розбіжною. Щоб послідовність, яка має єдину часткову границю, була збіжною, необхідно й достатньо, щоб вона була обмеженою. Це твердження сформулюємо нижче у вигляді теореми. Доведемо одне допоміжне твердження.
Теорема 1. (Больцано–Вейєрштрасса). Всяка обмежена числова послідовність має принаймні одну часткову границю.
Доведення. Оскільки послідовність {уп}обмежена, то існує число М > 0 таке, що для всіх п = 1, 2, .... Відрізку [-М; М] належать усі члени послідовності {уп}. Цей відрізок точка О ділить на дві рівні частини. Принаймні одному з відрізків [-М; 0] і [0; М] належить нескінченна множина членів послідовності {уп}. Цей відрізок позначимо [а1, b1] і точкою поділимо його на дві рівні частини. Принаймні одному з відрізків [а1; c1] і [c1; b1]. належить нескінченна множина членів послідовності {уп}. Той відрізок, якому належить нескінченна множина членів послідовності {уп}, позначимо [а2, b2]. Відрізок [а2, b2] точкою поділимо на дві рівні частини і той з двох відрізків [а2; с2] і [с2; b2], який містить нескінченну множину членів послідовності {уп}, позначимо [а3; b3]. Цей процес продовжимо необмежено. В результаті дістанемо послідовність відрізків [аn; bn] (п= 1, 2, . . .) таку, що
1)
довжина відрізка , що дорівнює прямує до нуля при ,
кожний відрізок (n=1, 2, . . .) містить нескінченну множину членів послідовності {уп}.
З умов 1) і 2) за аксіомою Кантора випливає існування єдиної точки A, спільної для всіх відрізків (n=1, 2, . . .). Покажемо, що A є часткова границя послідовності {уп}. Для цього візьмемо довільний -окіл точки A, тобто інтервал . Оскільки для n=1, 2, . . ., а довжина відрізка [аn; bn] прямує до нуля при , то існує номер такий, що для всіх матиме місце включення
[an; bn] . (1)
Оскільки кожний відрізок містить нескінченну множину членів послідовності {уп}, то звідси і з (1) випливає, що в -окіл точки A потрапляє нескінченна множина членів послідовності {уп}. Це означає, що A є часткова границя послідовності {уп}. Теорему доведено.
Нижня і верхня границі послідовності. Нехай дано обмежену послідовність {уп}. Позначимо через F множину всіх її часткових границь. Ясно, що F– обмежена множина і внаслідок теореми Больцано — Вейєрштрасса вона містить принаймні одне число. За теоремою § 1.2 існують точна нижня і верхня межі множини F. Позначимо через
= inf F і = sup F.
Покажемо, що а і є частковими границями послідовності {уп}, тобто і .
Візьмемо довільний -окіл точки . За властивістю супремуму для числа існує число таке, що . Візьмемо окіл точки х' настільки малий, щоб він цілком містився в -околі точки . Оскільки х' є часткова границя послідовності {уп}, то в -околі точки х' міститься нескінченна множина членів послідовності {уп}. Ця нескінченна множина членів міститиметься і в -околі точки . Оскільки -окіл точки c було взято довільно, то є часткова границя послідовності {уп}, тобто . Аналогічно можна показати, що й . Таким чином, є найменша, а – найбільша часткові границі послідовності {уп}. Найбільша (найменша) часткова границя послідовності {уn} називається верхньою (нижньою) границею цієї послідовності і позначається
. Наприклад,
,
Якщо послідовність {уп} не обмежена знизу (зверху), то знайдеться підпослідовність така, що
У цьому випадку нижньою (верхньою) границею послідовності за означенням природно вважати (+ ).
Білет17