- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
Неперервною плоскою кривою називається сукупність точок у площині, координати яких х і у є функції параметра, неперервні на відрізку
Візьмемо (T)–розбиття відрізка :
Позначимо через .Довжина k-ї ланки вписаної ламаної дорівнює
Тому довжина L(T) ламаної P(T) запишеться так
Якщо довжина L(T) вписаної ламаної P(T) незалежно від взятого (T)-розбиття залишається обмеженою (4), то неперервна крива називається спямлюваною, а число називається довжиною цієї кривої. Якщо існують такі (T)-розбиття відрізка , що довжини як завгодно великі, то неперервна крива називається неспрямлюваною.
Теорема (Жордана).Для того щоб неперервна крива (1) була спрямлю-ваною, необхідно і достатньо, щоб були функціями з обмеженими варіаціями на відрізку
Доведення.
Необхідність. Нехай неперервна крива (1) спрямлювана. Для довільного (T)- розбиття (2) відрізка маємо
А це означає, що функції з обмеженими варіаціями на відрізку
Достатність. Нехай - функція з обмеженими варіаціями на відрізку Тоді для довільного (T)- розбиття цього відрізка маємо
Крива (1) є спрямлювана.
Наслідок. Для того щоб крива, задана в прямокутних декартових координатах рівнянням y=f(x), f(x) – неперервна функція на відрізку [a; b], була спямлюваною, необхідно і досить, щоб f(x) була функцією з обмеженою варіацією на відрізку [a; b].
Означення: Неперервна крива (1) називається спрямлюваною, якщо при існує скінченна границя довжин L(T) вписаних ламаних .
Теорема 2. Для того щоб неперервна крива (1) була спрямлюваною, необхідно і достатньо, щоб існувала скінченна границя
Ця границя дорівнює довжині l спрямлюваної кривої.
Неперервна крива (1) називається гладкою, якщо функції і мають похідні і , неперервні на відрізку , які одночасно не перетворюються в нуль .
Неперервна крива (1) називається кусково–гладкою, якщо вона складається з скінченного числа гладких кривих. Довжина спрямлюваної гладкої кривої (1) визначається за формулою (19)
За теоремою Лагранжа маємо
тому довжину вписаної ламаної запишемо так:
(20)
де і .
Довжина кривої (1) дорівнює границі сум (20) при . Однак суми (20) не є інтегральними, оскільки точки і різні.
Щоб знайти границю суми (20), до цієї суми додамо і віднімемо суму
(21)
Перша сума в рівності (21) є інтегральною сумою, складеною для функції і -розбиття (2) відрізка . Оскільки функції і неперервні на відрізку , то на цьому відрізку неперервна (а отже, й інтегровна) і функція .
Тому
(22)
Покажемо, що границя другої суми в рівності (21) при дорівнює нулю.
Задамося числом . Оскільки функція неперервна на відрізку , то, за теоремою Кантора, вона рівномірно неперервна на цьому відрізку. Тому для числа знайдеться число таке, що
для і
Візьмемо - розбиття (2), для якого .
Тоді
тому (23)
Скориставшись нерівністю для оцінки зверху кожного доданка другої суми в рівності (21) і застосувавши нерівність (23), дістанемо
і, отже, при границя другої суми в рівності (21) дорівнює нулю. Перейшовши до границі при в рівності (21), дістанемо формулу (19) для обчислення довжини кривої (1).
Покажемо, що формула (19) залишається правильною і для обчислення довжини кусково- гладкої кривої.
Справді, якщо неперервна крива (1) кусково-гладка, то її можна розбити на скінченне число гладких кривих. Це означає, що відрізок можна зобразити у вигляді суми скінченного числа відрізків , попарно без спільних внутрішніх точок:
де
На кожному відрізку функції і мають неперервні похідні і , якщо під значенням цих похідних у точках і розуміти однобічні похідні. Таким чином, функції і обмежені на відрізку і можуть мати розриви першого роду тільки в точках і . Цю властивість має і функція . Тому ця функція інтегровна за Ріманом на відрізку і внаслідок адитивної властивості інтеграла Рімана правильна рівність
За адитивною властивістю спрямлюваної кривої кусково-гладка крива спрямлювана і її довжина дорівнює сумі довжин кривих, відповідних відрізкам :
Отже, довжина l кусково-гладкої кривої (1) також обчислюється за формулою (19).
Нехай крива АВ в полярних координатах задана рівнянням , де — невід'ємна функція, неперервна разом із своєю похідною першого порядку на відрізку , причому для і кожним двом різним значенням (за винятком, можливо, значень і ) відповідають дві різні точки кривої АВ. Використовуючи зв'язок між декартовими і полярними координатами , параметричні рівняння (1) кривої АВ запишемо в такому вигляді:
Роль параметра t тут виконує кут . Оскільки , то:
(24)
Якщо крива АВ в декартових координатах задана рівнянням , де — функція, неперервна разом з своєю похідною першого порядку на відрізку , то, взявши х за параметр t, параметричні рівняння (1) кривої АВ запишемо у вигляді:
Формула (19) для і цього випадку набуде вигляду: (25)
Білет11