1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.

Лінійним диф. рівнянням першого порядку наз. рівняння вигляду

, (1)

де функції p(x) і q(x) неперервні в інтервалі (а; b). Якщо функція q(x) тотожно дорівнює нулю в інтервалі (а; b), то рівняння (1), яке має вигляд

(2)

називається однорідним. Якщо ж q(x) 0 (a < x < b), то воно називається неоднорідним.

Загальний розв’язок однорідного рівняння

1) — розв’язок.

2)

Шукаємо розв’язки, відмінні від нуля.

(3)

,

звідки

(С₂ > 0)

і, нарешті,

. (4)

Загальний розв’язок неоднорідного рівняння (метод Бернуллі)

Згідно з методом Бернуллі розв'я­зок рівняння (2) шукаємо у вигляді

y(x) = u(x) v(x), (5)

де и(х) і v(x) — невідомі функції. Надалі припускатимемо, що функції и(х) та v(x) неперервні разом із своїми похідними першого порядку в інтервалі (а; b). Знаходячи

і підставляючи це значення і функцію у(х) в рівняння (2), дістаємо таку рівність:

(6)

Виберемо функцію v(x) так, щоб

Оскільки останнє рівняння є лінійним однорідним, то

; ;

Підставляючи знайдене значення функцій и(х) та v(x) у формулу (5), дістаємо загальний розв'язок рівняння (2):

(7)

Рівняння Бернуллі

До рівнянь, які зводяться до лінійного диференціального рівнян­ня, належить так зване рівняння Бернуллі

y' + p(x)y = q(x)y". (8)

У рівнянні (8) р(х) і q(x) неперервні на проміжку (a; b), a n — деяке дійсне число.

При п = 0 або п = 1 рівняння (8) є лінійним рівнянням, загальний розв'язок якого був знайдений вище. Тому надалі припускатимемо, що п 0, п 1 і у 0. Помноживши обидві частини рівняння (8) на , дістанемо

. (9); .(10);

Помноживши обидві частини диференціального рівняння (9) на (1-п), матимемо лінійне диференціальне рівняння:

Визначивши з цього рівняння функцію z і підставивши її в (10), знайде­мо шукану функцію у:

Ми знайшли загальний розв'язок рівняння Бернуллі (8) припус­тивши, що . Функція також є розв'язком рівняння (8), у чому можна переконатись безпосередньою перевіркою.

Рівняння в повних диференціалах

Нехай функції і визначені і неперервні в однозв’язній області D площини і в жодній точці цієї області не перетворюються одночасно в нуль.

Рівняння вигляду

(1)

називається рівнянням у повних диференціалах, якщо його ліва частина в області D є повний диференціал деякої функції .

Рівняння (1) можна записати у вигляді

(2)

— загальний інтеграл рівняння (1).

. (3)

Нехай функції і неперервні разом з частинними похідними і в однозв’язній області D площини .

, (4)

, (5); ,(6)

, (7); (8)

Використавши (5), одержимо

. (9)

Знаходимо C за допомогою інтегрування. Знайшовши її, підставляємо у (7), одержуємо функцію , приривнявши яку до C, маємо загальний розв’язок рівняння (1).

2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.

Означення 1. Булевою називається функція, яка, як і її аргументи, набувають значень лише 0 або 1.

Задати булеву функцію можна таблицею істинності або логічною формулою.

Якщо булева функція залежить від багатьох змінних, то задавати і до­сліджувати її зручніше не таблицею істинності, а аналітично (формулою). При цьому намагаються формулу звести до однієї з канонічних форм.

Означення 2. Елементарною кон’юнкцією називається кон’юнкція пропозиційних змінних та їх заперечень.

Означення 3. Елементарною диз’юнкцією називається диз’юнкція пропозиційних змінних та їх заперечень.

Число пропозиційних змінних в елементарній кон’юнкції (диз’юнкції) називають її рангом. Наприклад, – елементарна кон’юнкція рангу 3; – елементарна диз’юнкція рангу 4. Пропозиційну змінну А можна вважати як елементарною кон’юнкцією, так і диз’юнкцією рангу 1. Формула не є ні елементарною кон’юнкцією, ні диз’юнкцією.

Означення 4. Диз’юнкція n елементарних кон’юнкцій називається n­-членною диз’юнктивною нормальною формою. Скорочений запис відповідно днф.

Означення 5. Кон’юнкція n елементарних диз’юнкцій називається n­-членною кон’юнктивною нормальною формою. Скорочений запис відповідно кнф.

Наприклад, формула є 2-членною днф, а формула є 4-членною кнф.

Розглянуті вище нормальні форми не визначаються однозначно для за­даної формули: для тієї самої булевої функції існують істотно різні кнф і днф (звичайно, всі вони рівносильні між собою). Виділимо з класу нор­мальних форм для даної формули алгебри висловлень певний підклас, члени якого однозначно визначаються за даною формулою (з точністю до порядку запису). Введемо ряд означень.

Означення 6. Елементарна кон’юнкція (диз’юнкція) називається пра­вильною, якщо кожна пропозиційна змінна входить до неї не більше ніж один раз, включаючи також входження змінної під знаком заперечення.

Наприклад, елементарна кон’юнкція є правильною, а еле­мен­тарна диз’юнкція не є правильною.

Означення 7. Елементарна кон’юнкція (диз’юнкція) називається пов­ною щодо пропозиційних змінних , якщо кожна з цих змінних входить до неї хоча б один раз (або із знаком заперечення, або без нього).

Так, щодо змінних елементарна диз’юнкція є повною, а елементарна кон’юнкція не є повною.

Означення 8. Досконалою диз’юнктивною нормаль­ною формою (позначається Дднф) щодо пропозиційних змінних називається диз’юнктивна нормальна форма, кожна елементарна кон’юнкція якої є правильною і повною щодо даного набору пропозиційних змінних.

Означення 9. Досконалою кон’юнктивною нормаль­ною формою (позначається Дкнф) щодо пропозиційних змінних називається кон’юнктивна нормальна форма, кожна елементарна диз’юнкція якої є правильною і повною щодо даного набору пропозиційних змінних.

Так, днф не є Дднф щодо змінних , бо вона містить елементарну кон’юнкцію , яка не є повною (не містить змінної ). Так само, не є Дднф і формула , оскільки друга елементарна кон’юнкція в ній не є правильною (змінна входить до неї двічі). Навпаки, днф є досконалою щодо тих самих пропозиційних змінних. Прикладом Дкнф щодо пропозиційних змінних може служити формула .

Будь-яку булеву функцію, відмінну від тотожного нуля, можна подати у вигляді Дднф. Справедливість цього встановлюється за допомогою наступного алгоритму:

1. Позбутися операцій еквіваленції та імплікації, якщо вони є, використовуючи рівно­сильності і .

2. За допомогою правил де Моргана та властивості подвійного запере­чення отримати формулу, в якій кожний символ заперечення сто­сується лише однієї пропозиційної змінної.

3. Використовуючи рівносильність , пере­творити вираз у днф.

4. Кожну неправильну елементарну кон’юнкцію перетворити в пра­вильну, використовуючи комутативну і асоціативну властивості, властивість суперечності та рівносильності , і .

5. До неповної елементарної кон’юнкції, яка не містить, наприклад, змінної , приєднати кон’юнктивно тавтологію і замінити її вира­зом . Після цього розкрити дужки за дистрибутивною вла­стивістю. У разі необхідності цей процес повторювати доти, поки кожна неповна елементарна кон’юнкція не перетвориться в повну.

6. Якщо в остаточній формулі є однакові диз’юнктивні члени, то зали­шити тільки один з них.

Дане представлення єдине (з точністю до порядку членів).

Будь-яку булеву функцію, відмінну від тотожної одиниці, можна подати у вигляді Дкнф, яка є єдиною (з точністю до порядку членів).

Алгоритм зведення подібний до попереднього:

1. Позбутися операцій еквіваленції та імплікації.

2. За допомогою правил де Моргана та властивості подвійного запере­чення отримати формулу, в якій кожний символ заперечення сто­сується лише однієї пропозиційної змінної.

3. Використовуючи рівносильність , пере­творити вираз у кнф.

4. Кожну неправильну елементарну диз’юнкцію перетворити в пра­вильну, використовуючи комутативну і асоціативну властивості, властивість виключеного третього та рівносильності , і .

5. До неповної елементарної диз’юнкції, яка не містить, наприклад, змінної A, приєднати диз’юнктивно фальш і замінити її виразом . Після цього застосувати дистрибутивну властивість. У разі не­обхідності цей процес повторюється, як і у випадку зведення до Дднф.

Якщо в остаточній формулі є однакові кон’юнктивні члени, то зали­шити тільки один з них.

Досконалі диз’юнктивні або кон’юнктивні нормальні форми є логічним виразом, що складається з пропозиційних змінних і трьох логічних операцій: диз’юнкції, кон’юнкції і заперечення. Кожна пропозиційна змінна може приймати значення 0 або 1, тобто також є булевою функцією. Множину булевих функцій, пов’язаних між собою операціями диз’юнкції, кон’юнкції і заперечення, називають булевою алгеброю або алгеброю Буля.

Якщо розглядати лише дві операції, суму Жегалкіна і кон’юнкцію, то одержимо іншу алгебру, яку називають алгеброю Жегалкіна. Тобто алгебра Жегалкіна – це множина булевих функцій, пов’язаних між собою кон’юнкцією та сумою Жегалкіна.

Алгебра Жегалкіна заслужила особливу увагу завдяки так званим досконалим поліноміальним нор­мальним формам (Дпнф), які ще називають поліномами Жегалкіна. Будь-яку булеву функцію можна єдиним способом подати у вигляді поліному Жегалкіна.

Поліноми Жегалкіна – це елементарні кон’юнкції і тавтологія, пов’язані між собою сумою Жегалкіна.

Наприклад, .

Білет25