- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
Функція f (х) називається диференційовною в інтервалі , якщо вона диференційовна в кожній точці цього інтервалу.
Теорема 1 (Ролля). Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а; ], диференційовна в інтервалі , причому , то існує принаймні одна точка така, що .
Доведення.
Нехай виконано умови теореми. Функція f (х), неперервна на відрізку [а; ], за другою теоремою Вейєрштрасса існують дві точки і такі, що
для будь-якого . Тут можливі два випадки: 1) т = М, 2) т < М.
У першому випадку маємо: f(x) = const для , тому для будь-якого . У цьому випадку за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу . У другому випадку, внаслідок умови , принаймні одна з точок х* або х** належить інтервалу . Нехай, наприклад, . Покажемо, що f (х*) = 0. Дійсно, для досить малих точка належатиме інтервалу , причому (1)
Якщо >0, то з (1) маємо: отже, (2)
Якщо ж < 0, то з (1) дістанемо: отже, (3)
З нерівностей (2) і (3) робимо висновок, що . У цьому випадку за точкою можна взяти точку х*. Коли б , то аналогічно переконалися б у тому, що f (x**) = 0. Теорему доведено.
Якщо функція задовольняє умову теореми Ролля, то серед усіх дотичних до кривої у = існує принаймні одна, паралельна осі Ох.
Наслідок. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку і диференційовна в інтервалі , то між кожними двома нулями функції f (х) міститься принаймні один нуль її похідної .
Теорема 2 (Лагранжа). Якщо функція f (х) неперервна на відрізку і диференційовна в інтервалі , то існує принаймні одна точка , така, що
(6)
Доведення. Розглянемо допоміжну функцію
Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля: вона неперервна на відрізку , вона диференційовна в інтервалі , причому
(7)
На кінцях відрізка функція має однакові значення:
За теоремою Ролля існує принаймні одна така точка , в якій . Звідси і з (7) переконуємось у правильності рівності (6).
Якщо функція f(x) задовольняє умови теореми Лагранжа, то серед усіх дотичних до кривої y = f(x) знайдеться принаймні одна, яка паралельна хорді [АВ], що з'єднує точки A (a; f (а)) і В (b; f(b))
Теорема 3 (Коші). Якщо функції f (х) і неперервні на відрізку і диференційовані в інтервалі , причому в усіх точках , то існує принаймні одна точка така, що
(9)
Доведення. Насамперед зауважимо, що при умовах, накладених у теоремі на функцію , значення цієї функції в точках а і b різні. Справді, за теоремою Лагранжа, умови якої тут виконані, маємо:
Оскільки , то . Розглянемо допоміжну функцію
Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля. Вона неперервна на відрізку , диференційовна в інтервалі , причому для
(10)
На кінцях відрізка функція має однакові значення:
За теоремою Ролля є принаймні одна така точка , в якій . Звідси і з (10) маємо
=>
Умови сталості та монотонності функції.
Теорема 1. Нехай функція f(x) неперервна в проміжку <а; b> і диференційовна в інтервалі . Для того щоб функція була постійною в проміжку <а; b>, необхідно й достатньо, щоб для всіх .
Доведення. Необхідність.
Якщо функція f(x) постійна в проміжку <а; b>, то для всіх .
Достатність. Нехай для всіх . Візьмемо яку-небудь фіксовану точку . Тоді за теоремою Лагранжа в довільній точці <а; b> маємо: оскільки . Функція f(x) постійна в проміжку <а; b>.
Теорема 2. Нехай функція f (x) неперервна в проміжку <а; b> і диференційовна в інтервалі . Для того щоб функція f (х) не спадала (не зростала) в проміжку <а; b>, необхідно й достатньо, щоб для всіх .
Доведення. Необхідність.
Нехай функція f(х) не спадає в проміжку <а; b> і нехай точка . Тоді при маємо: , тоді
Достатність.
Припустимо тепер, що > 0 для всіх . Нехай – довільні точки проміжку <а; b>, . За теоремою Лагранжа, умови якої на відрізку [х1; х2] виконані, дістанемо , де , тобто . Функція f (x) в проміжку <а; b> не спадає. Аналогічно доводиться теорема для випадку, коли f (х) не зростає на <а; b>.
Теорема 3. Нехай функція f (х) неперервна в проміжку <а; b>, диференційовна в інтервалі . Для того щоб функція f (x) була зростаючою (спадаючою) в проміжку <а; b>, необхідно й достатньо, щоб > 0 ( < 0) для всіх , причому ті точки , в яких = 0, не складали б ніякого відрізка.
Доведення. Необхідність.
Нехай f(x) зростає на <а; b>. Тоді вона не спадає на <а; b>. За теоремою 2 > 0 для всіх .
Покажемо, що ті точки , в яких = 0, не складають ніякого відрізка. Припустимо, що ці точки склали відрізок [а; ] , тобто = 0 для . Тоді за теоремою 1 функція f (х) постійна на відрізку , що суперечить умові теореми.
Достатність
Нехай > 0 для всіх , причому точки , в яких = 0, не складають ніякого відрізка [а; ) . За теоремою 2 функція f(x) не спадає в проміжку <а; b>. Покажемо, що вона зростає в цьому проміжку. Припустимо, що вона не зростатиме в проміжку <а; b>. Тоді існуватимуть дві точки <а; b> <а; b> такі, що , ( не може бути більше , оскільки функція f (х) не спадає на <а; b>. Звідси, внаслідок того, що не спадає на <а; b>, випливає рівність для всіх .
Проте тоді f (х) = 0 для всіх , що суперечить одній з умов теореми.
Аналогічно доводиться теорема для випадку, коли f (х) спадає на <а; b>. Теорему доведено.
Наслідок. Якщо > 0 ( < 0) для всіх , то в інтервалі функція f (х) зростає (спадає).