1. Поняття відношення подільності

Прямі операції (додавання і множення) над невід’ємними цілими числами виконуються завжди, а обернені (віднімання й ділення) – ні. Тому важливо знати при яких умовах виконуються обернені операції. Для виконання дії віднімання досить впевнитись в тому, що зменшуване не менше за від’ємник. Для ділення такої простої ознаки немає. Тому ще стародавні математики намагалися знайти правила, які допомагали б за записом числа а дізнатися, ділиться воно на число b чи ні, не виконуючи ділення а на b. В результаті пошуків були знайдені ознаки подільності цілих невід’ємних чисел.

Для встановлення таких ознак розглянемо поняття відношення подільності на множині цілих невід’ємних чисел.

Означення. Ціле невід’ємне число а ділиться на ціле невід’ємне число b, якщо існує таке ціле невід’ємне число q, що а = bq.

Відношення подільності числа а на число b символічно позначають а  b. Відношення подільності не означає операції, тому не можна писати а  b = q. Наприклад, число а = 24 ділиться на число b = 6, бо існує таке число q, що 24 = 6  4.

Означення. Нехай дано ціле невід’ємне число а і натуральне число b. Якщо при діленні з остачею а на b остача дорівнює нулю, то b називають дільником числа а, а число а називають кратним числу b.

Треба розрізняти відношення подільності і операцію ділення. Так, якщо а = 0 і b = 0, то а  b, бо рівність 0 = 0  q виконується для будь-якого цілого невід’ємного числа q. Проте нуль не можна ділити на нуль, бо результат операції визначається неоднозначно.

Число а ≠ 0 не ділиться на нуль. Справді, якби існувало таке q, то а = 0  q, що суперечить тому, що а ≠ 0.

Беручи до уваги рівність 0 = b  0, дістанемо, що нуль ділиться на будь-яке ціле невід’ємне число. Якщо а  b і а < b, то а = 0. Якщо ж а ≠ 0 і а  b, то а ≥ b, тобто дільник даного числа а ≠ 0 не перевищує числа а. Тому множина всіх дільників такого числа - скінчена. Число 24 має такі дільники : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Чисел, кратних даному числу – нескінченна множина. Наприклад, усі парні числа кратні числу 2. Їх можна знайти за формулою x = 2q, де q набуває значення 0, 1, 2, 3, … .

Число 1 ділиться тільки само на себе. Числа 2, 3, 5, 7. . . діляться самі на себе і на одиницю. Числа 4, 6, 8, 9, … мають більше двох дільників. Ці спостереження привели математиків до понять простого і складеного числа.

Означення. Натуральне число, яке ділиться тільки на одиницю і на само себе, називається простим.

Отже, числа 2, 3, 5, 7 — прості натуральні.

Означення. Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складеним.

Такими числами є 4, 6, 8, 9. Так, число 6 має дільники 1, 2, 3, 6. Оскільки число 1 має тільки один дільник, то його не відносять ні до простих, ні до складених.

2. Властивості відношення подільності

Оскільки для будь-якого невід'ємного цілого числа а виконується рівність а = а  1, тобто будь-яке ціле невід'ємне число ділиться само на себе (а а), то відношення подільності на цій множині чисел — рефлексивне.

Для невід'ємних цілих чисел а і b, для яких виконуються відно­шення а b і b a й, маємо, що а = b, тобто відношення подільності невід'ємних цілих чисел антисиметричне.

Справді, (a b)  q (а =bq) (b а)  q₁(b = а .q₁), тому а = аqq₁, звідки qq₁ = 1. Це може бути тоді і тільки тоді, коли q=q₁ =1.

З розуміло, що для різних чисел а і b з того, що а b, випливає, що b а. Це очевидно у випадку, коли а = 0, а b 0. Якщо ж а і b — натуральні числа, то (а b)  (а b). Оскільки а і b різні числа, то а > b. Отже, b а.

Відношення подільності транзитивне, тобто з того, що (а b) (b c)  (а с). Справді, (а b)  q (а =bq), (b с))  q₁ (b = сq₁). Тому a = bq = сqq₁ = сq₂. Отже, а с.

Я к бачимо, відношення подільності ( ) на множині Nо цілих невід'ємних чисел має властивості рефлексивності, антисиметричності і транзитивності, тобто є відношенням нестрогого порядку на множині Nо, причому часткового порядку, бо не кожна пара не­від'ємних цілих чисел знаходиться у відношенні подільності. На­приклад, 4 З і 3 4.

Якщо число ділиться на 3, то воно має вигляд 3q. Якщо ж число не ділиться на 3, то воно при діленні на 3 матиме остачу. Оскільки остача повинна бути менша від 3, то вона дорівнюватиме 1 або 2.