План та хід заняття

І. Актуалізація опорних знань

1. Що означає число а поділити на число b без остачі?

2. Яким символом позначається відношення подільності і чи відрізняється цей символ від дії ділення?

3. Чому не можна будь-яке число поділити на нуль? Чому не можна нуль ділити на нуль?

4. Яке число називається простим, а яке складеним?

5. Назвіть властивості відношення подільності.

6. Сформулюйте і доведіть теореми про подільність суми, різниці, добутку.

7. Доведіть теорему про подільність суми для: 1) трьох доданків; 2) m доданків.

8. Доведіть теорему про подільність різниці цілих невід’ємних чисел на натуральне число.

9. Відомо, що а не кратне n і b не кратне n. Чи правильно, що: 1) не кратне n; 2) не кратне n?

ІІ. Розв’язування вправ

1. Чому число 15 є дільником числа 60; кратним числа 3? Відповідь обґрунтуйте.

2. Які із чисел 2, 3, 5 є дільниками чисел 230; 225; 450?

3. Які із чисел 804, 75, 144, 150 є кратними 2; 3; 5; 9?

4. Назвіть п’ять чисел, кратних 3. За якою формулою можна одержати інші числа, кратні 3?

5. Запишіть множину дільників чисел: 24; 38; 13; 1.

6. Множина цілих невід’ємних чисел в залежності від остачі при діленні на два розбивається на два класи. Із яких чисел складається кожний із цих класів? Назвіть по два представники кожного класу. Яка формула дає можливість одержати всі парні числа, а яка непарні?

7. Поясніть, чому число 19 просте, а число 18 – складене.

8. При яких значеннях q значення виразу 11q є простим числом?

9. Запишіть всі прості дільники числа 60.

10. Серед даних висловлень назвіть істинні:

а) множина натуральних чисел розбивається на клас простих чисел і клас і клас складених;

б)множина натуральних чисел складається із простих чисел, складених чисел і числа 1.

11. Побудуйте граф відношення “число x – дільник числа y” на множині X = {12, 9, 6, 3,18}. Які особливості цього графа? Чим від нього буде відрізнятися граф відношення “x кратне y”, якщо відношення задано на тій же множині.

12. Чи кратна числу 4 сума двох послідовних а) парних чисел; б) непарних чисел.

13. Відомо, що і . Який висновок можна зробити про подільність числа а на 2?

14. Які остачі можуть бути отримані при діленні а на 3? Який вигляд чисел, які на 3 не діляться?

15. А – множина цілих невід’ємних чисел виду 3q, В – множина цілих невід’ємних чисел виду 3q+1, С – множина цілих невід’ємних чисел виду 3q+2. Чи можна стверджувати, що ?

16. З множини цілих невід’ємних чисел виділили підмножину чисел, кратних 7. Розбийте будь-яким чином на класи підмножину чисел, не кратних 7. Скільки класів розбиття множини отримали?

17. Не виконуючи додавання, встановіть, чи ділиться значення виразу на 3:

1) 180+144; 2) 720+308; 3) 103+370.

18. Не виконуючи віднімання, вкажіть вирази, значення яких ділиться на 5: 1) 535-413; 2) 1215-470; 3) 20 147-1 307.

19. Не виконуючи обчислень, встановіть, чи буде добуток ділиться на 5, 8, 9, 10, 18, 45.

20. Якщо до двоцифрового числа додати число, записане тими ж цифрами, але в зворотньому порядку, то сума буде кратна 11. Доведіть це.

21. Доведіть, що добуток трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3.

22. Доведіть, що квадрат непарного натурального числа при діленні на 8 дає остачу 1.

23. Доведіть, що сума квадратів двох послідовних натуральних чисел при діленні на 4 дає остачу 1.

24. Записати числа виду , які діляться на 4. (Відповідь: 13752; 13756).

25. Скільки чисел виду діляться на 4?

Розв’язок. Розглянемо число , де замість y будемо послідовно підставляти цифри, так щоб утворене двозначне число ділилось на 4. Отримаємо: 40 – ділиться на 4; 40+4=44 – ділиться на 4; 44+4=48 – ділиться на 4. Отже, кожне з трьох чисел , та при довільному значенні x ділиться на 4. У кожному з них x може приймати будь-яке з 10 значень від 0 до 9. Тому маємо 310=30 чисел.

Відповідь: 30 чисел.

26. Доведіть, що сума і різниця квадратів двох послідовних натуральних чисел завжди непарні числа, а добуток цих квадратів ділиться на 4.

ІІІ. Завдання для самостійного виконання

Варіант 1

1. Запишіть усі числа, кратні 5, які задовольняють нерівності 570 < b < 581.

Відповідь поясніть.

2. Не виконуючи додавання, вияснити, чи ділиться сума: а) 124+420+213 на 4; б) 1080+123+124 на 9.

3. Який з добутків чисел 243 ∙ 42 чи 123 ∙ 42 ділиться на 9?

4. Записати усі числа виду , що діляться на 4.

5. Довести, що добуток двох послідовних парних чисел ділиться на 8.

Варіант 2

1. Запишіть усі числа, кратні 2, які задовольняють нерівності 572 b < 585.

Відповідь поясніть.

2. Не виконуючи додавання, вияснити, чи ділиться сума: а) 124+420+213 на 5; б) 1080+123+124 на 3.

3. Який з добутків чисел 244 ∙ 25 чи 122 ∙ 42 ділиться на 4.

4. Записати усі числа виду , що діляться на 4.

5. Довести, що різниця між трицифровим числом і числом, записаним тими ж цифрами, але взятими в зворотному порядку, діляться на 9.

Варіант 3

1. Запишіть усі числа, кратні 9, які задовольняють нерівності 570 < b 585.

Відповідь поясніть.

2. Не виконуючи додавання, вияснити, чи ділиться сума: а) 256+184+231 на 3 ; б) 156+236+216 на 4.

3. Який з добутків чисел 256·36 чи 126·33 ділиться на 6.

4. Скільки чисел виду діляться на 4?

5. Довести, що різниця між кубом будь-якого числа і самим числом ділиться на 6.

Варіант 4

1. Запишіть усі числа, кратні 3, які задовольняють нерівності 270 < b < 281.

Відповідь поясніть.

2. Не виконуючи додавання, вияснити, чи ділиться сума: а) 438+246+178 на 2; б) 225+658+355 на 5.

3. Який з добутків чисел 144·29 чи 561·56 ділиться на 12.

4. Скільки чисел виду діляться на 4?

5. Довести, що трицифрове число, записане однаковими цифрами, ділиться на 37.

ІV. Підсумок. Домашнє завдання

• Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне.

• Обчислення найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного за канонічним розкладом чисел.

• Алгоритм Евкліда.

• Ознака подільності на складені числа.