1. П оняття числової функції

Багато математичних понять виникає в результаті абстрагування від властивостей об’єктів, які реально існують в природі. Відображаючи деякі сторони реальної дійсності, сприяють їх пізнанню.

Одним із понять, яке відображає властивість явищ і предметів і є поняття функції, одне з найважливіших понять математики.

Важливість і складність поняття функції вимагає від початкового курсу математики поступової і систематичної підготовки учнів до засвоєння цього поняття, тобто пропедевтики.

Розглянемо задачу: «Кілограм апельсинів коштує 10 грн. Скільки коштують 3 кг апельсинів? 4 кг? 6 кг апельсинів? Проаналізуємо цю задачу. В задачі мова йде про такі величини, як маса куплених апельсинів, їх вартість і ціна. Якщо позначити через х масу куплених апельсинів, а через у їх вартість, то залежність між ними буде виражатись формулою у=10х. За цією формулою для кожного значення х можна знайти відповідне йому значення у. встановлену залежність у від х називають функцією.

Означення. Функцією називається така залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню х відповідає єдине значення у.

Змінну х називають незалежною змінною або аргументом, а змінну у - залежною змінною. Кажуть, також, що у є функцією від х.

Щоб задати функцію, треба задати числову множину Х (її називають областю визначення функції) і спосіб (правило), з допомогою якого для кожного числа х із множини Х можна знайти відповідне число у – значення функції.

Функцію прийнято позначати буквами f, g, h та ін. Якщо f- функція, то значення змінної у, відповідає аргументу х, позначають , тобто .

Найпоширеніші способи завдання функцій такі: аналітичний, табличний та графічний. Частіше всього функції задають за допомогою формул яку вказують, як по даному значенню аргументу знайти відповідне значення функції. Наприклад, якщо довжина сторони квадрата дорівнює х дм, а площина у дм², то формула у=х² задає функцію, областю визначення якої є множина додатних дійсних чисел.

Якщо купили х зошитів, по 3к. кожний, а у к. – ціна всієї покупки, то формула у=3х задає функцію, областю визначення ділення якої є множина цілих невід’ємних чисел.

Іноді функцію задають таким чином:

Тобто на різних ділянках значення х функція задається різними формулами.

Часто при заданні функції за допомогою формули її область визначення не вказується. В таких випадках рахують, що область визначення складається із всіх значеннях змінної, при якій ця формула не має смислу. Наприклад, якщо задана функція , то вважають, що її область визначення – множина тих значень х, при яких має смисл вираз ,тобто множина .

Табличний спосіб завдання функції полягає в написанні таблиці відповідних значень аргументу та функції (таблиці кубів, квадратів чисел).

В початковому курсі математики пропедевтика поняття функції здійснюється при заданні таких вправ, в яких розглядаються різні функціональні залежності між змінними. При цьому немає відповідних термінологій, символіки, увага звертається на взаємозв’язки, відношення.

Наведемо приклади декількох завдань:

1. 39+а. Знайти значення суми, якщо а приймає значення: 0, 6, 15, 31, 46, 52.

При розв’язуванні цього завдання встановлюється залежність значення суми 39+а від значень змінної а. Ця залежність – функція з областю визначення

2. Заповни таблицю:

b	7	9	16	28
16 + b

3. Склади всі можливі приклади на склад однозначних чисел з відповіддю 12.

При виконанні вправи можна скласти таблицю:

12	3	4	5	6	7	8	9
	9	8	7	6	5	4	3

За допомогою таблиці встановлюється функціональна залежність значень другого доданка від значення першого. Областю визначення цієї функції є числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

4. Знайди площу квадратів, якщо один квадрат має довжину сторони 1см, другої 2см, третьої 3см.

При розв’язанні цієї задачі встановлюється залежність між довжиною сторони і площею квадрата. Ця залежність – функція, так як кожному значенню довжини сторони квадрата співпадає єдине значення його площі:

• якщо довжина сторони 1см, то площа дорівнює 1см²;

• якщо довжина сторони 2см, то площа дорівнює 4см²;

• якщо довжина сторони 3см, то площа дорівнює 9см².

Щоб розглянути графічний спосіб завдання функції, розглянемо означення графіка функції.

Графіком функції f, заданій на множині Х, називають множину таких точок координатної площини які мають координати х і f(x) для всіх х із множин Х.

Графіком функції у=х при умові, що областю її визначення є множина дійсних чисел, є множина точок координатної площини, абсциса і ордината яких рівна між собою. Множина таких точок є бісектриса першого і третього координатних кутів. Ця пряма і є графіком функції у=х.

3. Побудуємо графік функції у=х², рахуючи, що її область визначення є множина дійсних чисел.

Зобразимо кожну пару знайдених значень х і у точкою на координатній площині (мал. 139). Ця лінія називається параболою.

Для аналізу залежності між змінними важливо розуміння суті зростаючої і спадаючої функції.

Функція f називається зростаюча на деякому проміжку Х, якщо для будь-яких значень х₁, х₂ із множини Х виконується умова .

Особливість графіка функції, зростаючому на проміжку Х: при русі вздовж осі Ох зліва направо на проміжку Х ордината графіка збільшується (мал. 140).

Функція f називається спадаючою на деякому проміжку Х, якщо для любих х₁, х₂ із множини Х виконується умова .

Особливість графіка спадаючої на проміжку Х: при русі вздовж осі Ох зліва направо по проміжку Х ордината графіка зменшиться (мал. 141).

Вправи

1. Виміряючи температуру повітря на протязі суток, отримали таку таблицю:

Х1	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
у°С	1	0	-2	-3	-2	0	1	2	3	3,5	4	3,5	2

Побудуйте графік даної залежності. Чи є вона функцією?

Кожному числу, яке належить множині , поставлений належний йому модуль. Покажіть, що дана залежність – функція та побудуйте її графік.

3. Побудуйте графік функції у=х, якщо її областю визначення є множина: 1) ; 2) .

4. Побудуйте графік функції у=2х², якщо її областю визначення є множина: 1) R; 2) ; 3) .

5. Доведіть, що всі точки графіка функції у=4х² проходить через точку А(-0,5; -3) і не проходить через точку В(1, -4).

6. Доведіть, що всі точки графіка функції у=102х знаходяться в першій і третій координатній чверті.

7. В чому ви бачите схожість в поведінці функцій, графіки яких зображені на малюнку 142?

8. Графіки на малюнку 143 розбиті на класи: Які властивості відповідних функцій покладені в основу цієї класифікації?

9. Розбийте графіки, наведені на малюнку 144, на три класи, так, щоб графіки а), б), е) опинилися в різних класах. Які властивості даних функцій Ви поклали в основу виконаної класифікації?

10. Формуванню яких представлених про функції і її властивості сприяють наступні вправи які виконуються в початкових класах:

1) Заповни таблицю:

B	7	9	16	28
16+b

Як змінюються доданки і як змінюється сума?

2) В семи однакових ящиках 42 кг помідорів. Скільки кілограмів помідорів в с таких ящиках? Склади по задачі вираз і знайди його значення при с=6, с=8, с=9, с=10.

3) На лісовій ділянці було 112 беріз і х осин. Обґрунтуй, що означають наступні вирази: 112+х, 112-х, х-112.