3. Десяткові дроби

В практичній діяльності людина користується десятковою системою числення. Нові одиниці величин одержують із стандартних, зменшуючи їх в 10, 100, 1000 і т.д. разів. Тому для практики важливо мати ці дроби, знаменники яких є степенями числа 10. Наприклад . Такі дроби називаються десятковими.

Порівняння десяткових дробів і виконання дій над ними зводиться до порівняння і виконання дій над натуральними числами. Наприклад, 0,3472 < 0,3480, так як при однакових десятих і сотих частин тисячних частин у першого числа менше, ніж у другого.

Чи будь-який звичайний дріб можна перетворити в десятковий?

Теорема. Для того, щоб нескоротний дріб дорівнював десятковому дробу, необхідно і достатньо, щоб в розкладі його знаменника на прості множники входили лише числа 2 або 5.

Прпиклад.

Серед десяткових дробів виділяють дріб 0,01. Його називають відсотком і позначають 1%. На практиці використовують це так: ціни на товари знизились на 20%, цукрова тростина містить 15% цукру.

Розрізняють скінченні десяткові дроби і нескінченні десяткові дроби. З нескінченних десяткових дробів виділяють періодичні і неперіодичні, чисті періодичні – в них період починається зразу після коми і змішані періодичні дроби – в них між комою і періодом є інші десятизначні знаки. Наприклад, 0,(857142) – чистий періодичний дріб, а 3,27(346) – змішаний періодичний дріб.

Теорема. Якщо дріб нескоротний і в розкладі знаменника на прості множники є простий множник відмінний від 2 і 5, то дріб подається у вигляді нескінченного періодичного дробу.

Щоб записати додатне раціональне число у вигляді нескінченного періодичного дробу, потрібно чисельник поділити на знаменник.

Як виконати обернене перетворення?

Теорема. Чистий періодичний нескінченний десятковий дріб дорівнює такому звичайному дробу, в якого чисельник дорівнює періоду, а знаменник містить стільки дев’яток, скільки цифр в періоді дробу.

0,282828…=

Змішаний періодичний дріб з нулем в цілій частині дорівнює такому звичайному дробу, чисельник якого дорівнює різниці між числом, записаним цифрами, які стоять до початку другого періоду, і числом, записаним цифрами, що стоять до початку першого періоду, а знаменник містить стільки дев’яток, скільки цифр в періоді, і стільки нулів, скільки цифр стоїть до початку першого періоду.

0,86161=

4. Множина додатних ірраціональних чисел. Додатні дійсні числа

Як відомо, дії над додатними раціональними числами зручно виконувати, якщо вони представлені десятковими дробами. Тому слід і результати вимірювання величин, в тому числі і відрізків, представляти у вигляді десяткових дробів.

Нехай а – відрізок, довжину якого слід виміряти, відрізок е – одиниця довжини. І нехай відрізок а складається з п відрізків, рівних е, і відрізка , який коротший відрізка е, тобто . Числа п і п+1 називаються наближеними значеннями відрізка а при одиниці довжини е з недостачею і з надлишком з точністю до одиниці.

Щоб отримати відповідь з більшою точністю, візьмемо відрізок - десяту частину відрізка е і спробуємо вмістити його у відрізок . Можливі два випадки:

1) відрізок буде містити відрізків . Тоді довжина відрізка а виражається десятковим дробом: .

2) відрізок буде складатися з відрізків, рівних , і відрізка , який коротший за відрізок . Тоді , де і - наближені значення довжин відрізка а з недостачею і з надлишком з точністю до 0,1.

Зрозуміло, що у випадку 2 можна взяти новий одиничний відрізок , і продовжити вимірювання. В даному випадку можливі 2 варіанти:

а) на деякому k – му кроці процес вимірювання закінчиться. Тоді довжина відрізка а виразиться скінченим десятковим дробом .

б) описаний процес не скінчений. Тоді довжина відрізка а запишеться у вигляді символу , який називають нескінченним десятковим дробом.

Отже, в процесі вимірювання відрізків можна отримати нескінченні десяткові дроби. Причому існують відрізки, довжини яких не можна виразити нескінченними десятковими періодичними дробами (тобто додатними раціональними числами) при даній одиниці довжини.

Покажемо, що коли за одиницю довжини взяти сторону квадрата, то довжина діагоналі цього квадрата не може бути виражена додатнім раціональним числом.

Припустимо супротивне, тобто що довжина діагоналі а квадрата зі стороною е виражається нескоротним дробом : . За теоремою Піфагора , або . Звідси . Отже (т – парне). Нехай . Тоді , або , отже п – парне число, наприклад . Тобто . А це суперечить тому, що вихідний дріб нескоротний.

Отримане протиріччя доводить існування відрізків, довжини яких неможливо виразити додатними раціональними числами. Тому виникає необхідність розширити множину додатних раціональних чисел, доповнивши її так званими додатними ірраціональними числами.

Означення. Нескінченний неперіодичний десятковий дріб називають ірраціональним числом.

Згідно з цим, нескінченні неперіодичні десяткові дроби зображують довжини відрізків, несумірних з одиничним відрізком. Оскільки довжина відрізка є число додатне для будь – якого відрізка, то означене вище ірраціональне число називається додатними ірраціональним числом. Множину додатних ірраціональних чисел позначають . Дана множина нескінченна.

Означення. Об’єднання множин і називають множиною додатних дійсних чисел і позначають . Причому множини і не перетинаються. Множина нескінченна.

Множину можна розглядати як множину нескінченних десяткових дробів, відмінних від 0,00…0… і тих, що є періодичними з періодом 9.

Означення. Нехай задано два додатні числа α і β:

говорять, що число α дорівнює числу β, і пишуть α=β, якщо .

говорять, що число α менше від числа β, або число β більше за число α, і пишуть відповідно α<β, або β>α, якщо або знайдеться таке натуральне число k, що але .

Система лінійно впорядкована множина, у множині немає ні найменшого, ні найбільшого числа і між будь – якими двома різними додатними дійсними числами міститься безліч додатних раціональних чисел.

Нехай - деяке додатне дійсне число. Наближеним значенням числа а з недостачею з точністю до називається число . Наближеним значенням числа а з надлишком з точністю до називається число .

Для довільного дійсного числа виконується нерівність: .

Нехай дано додатні дійсні числа а і b. і - їх наближені значення з недостачею, і - наближені значення з надлишком.