4. Алгоритм віднімання в десятковій системі числення

Віднімання числа b від числа а, які є в таблиці додавання, зводиться до знаходження такого числа с, щоб а = b + с. Віднімання інших чисел виконують стовпчиком, застосовуючи таблицю додавання одно­цифрових чисел. Теоретичні основи цього алгоритму такі. Нехай від числа 453 треба відняти 231. Запишемо ці числа у вигляді степенів 10 і використаємо закони арифметичних операцій, а також таблицю додавання однозначних чисел. Тоді 453 - 231 = (4 - 2)  10² + (5 - 3)  10 + (3 - 1) = 222. Як бачимо, віднімання таких чисел зводиться, до віднімання одноцифрових чисел у відповідних розрядах за допомогою таблиці додавання. Якщо в деякому розряді зменшуваного одноцифрове число, менше від числа в тому ж розряді від'ємника, то до цього числа додають 10, зменшивши на одиницю цифру вищого розряду. Після чого віднімають число відповідного розряду від'ємника. Наприклад, нехай від 451 треба відняти число 243. Маємо 451 - 243 = (4 - 2)  10² + (5 - 4)  10 + (1 - 3) = (4 - 2) 10² + (4 - 4)  10 + (11 - 3) = 208.

Для виконання віднімання стовпчиком підписують під зменшуваним від'ємник так, щоб відповідні розряди знаходилися один під одним, і виконують віднімання, згідно з розглянутими випадками:

453 451

2 31 243

222 208

Таким чином, віднімання чисел зводиться до порозрядного віднімання одиниць, десятків, сотень і т. д., якщо цифри зменшуваного більші за відповідні цифри від'ємника. Якщо в якомусь розряді зменшуваного цифра менша від цифри відповідного розряду від'ємника, то беруть одиницю наступного вищого розряду, роздроблюють її в одиниці даного розряду, додають ці одиниці до одиниць даного роз ряду і віднімають відповідні одиниці розряду від'ємника.

5. Алгоритм множення в десятковій системі числення

Якщо числа а і b одноцифрові, то, щоб знайти їх добуток, достатньо перелічити число елементів декартового добутку множин А і В, для яких n(А)= а, n(В)= b. Але, щоб кожний раз, виконуючи множення таких чисел, не звертатись до множин і лічби, всі добутки, які одержуються при множенні двох одноцифрових чисел запам’ятовують. Всі такі добутки записують в спеціальну таблицю, яка називається таблицею множення одноцифрових чисел.

Якщо числа багатоцифрові, то їх множать “стовпчиком”. Множення багатоцифрового числа на одноцифрове зводиться до використання таблиці множення, розподільного закону множення відносно додавання і правила додавання чисел.

Наприклад, 453 · 4 = (4 · 102 + 5 · 10 + 3) · 4 = (4 · 102) · 4 + (5 · 10) · 4 + 3 · 4. Користуючись переставним і сполучним законами множення, дістаємо: (4 · 4) · 102 + (5 · 4) · 10 + (3 · 4) = 16 · 102 + 20 · 10 + 12 = (10+6) · 102 + 2 · 10 · 10 + (10 + 2) = 1 · 103 + 6 · 102 + 2 · 102 + 1 · 10 + 2 = = 1 · 103 + (6 + 2) · 102 + 1 · 10 + 2 = 1 · 103 + 8 · 102 + 1 · 10 + 2 = 1812.

Множення багатоцифрового числа на одноцифрове зводиться до множення одноцифрових чисел і додавання багатоцифрових чисел:

• записуємо друге число під першим;

• множимо цифри розряду одиниць на число у. Якщо добуток менше 10, то його записуємо в розряд одиниць відповіді і переходимо до наступного розряду (десятків);

• якщо добуток цифри одиниць на число у більше або дорівнює 10, то представляємо його у вигляді 10 · q1 +c0, де c0 – однозначне число; записуємо c₀ в розряд одиниць відповіді і запам’ятовуємо q₁ – перенос у наступний розряд;

• помножимо цифру розряду десятків на число у, додаємо до одержаного добутку число q₁ і повторюємо процес, описаний в пунктах 2 і 3.

Множення числа на степінь 10^k зводиться до приписування до першого множника k нулів.

Розглянемо приклад. х = a_n ·10ⁿ + a_n-1 · 10 ^n-1 + … +a₁ · 10 + a₀, то

х · 10^k = (a_n ·10ⁿ + a_{n -1} · 10^n-1 + … +a₁ · 10 + a₀) · 10^k . Застосувавши розподільний закон множення відносно додавання та інші закони множення, одержимо:

a_n ·10^n+k + a _n-1 · 10^{n + k -1} + … +a₁ · 10^k+1 + a₀ · 10^k

Цей вираз є десятковим записом числа a_n a_n-1 … a₁ a₀ 0 … 0 .

a_n ·10^n+k + a_n-1 · 10^{n + k -1} + … +a₁ · 10^k+1 + a₀ · 10^k = a_n ·10^n+k + a_n-1 · 10^{n + k -1} + … +a₁ · 10^k+1 + a₀ · 10^k + 0 · 10^{k – 1} +… + 0.

Наприклад, 534 · 10³ = (5 · 10² + 3 · 10 +4) · 10³ = 5 · 10⁵ + 3 · 10⁴ + 4 · 10³ = 534000.

Множення числа на багатоцифрове число зводиться до використання правила множення на одноцифрове число і степені числа 10. Для цього другий множник подають у вигляді суми степенів числа 10 з коефіцієнтами, що є цифрами числа. Наприклад, 453 · 132 = 453 · (1 · 10² + 3 · 10 + 2) = 453 · 1) · 10² + (453 · 3) · 10 + (453 · 2).

Результат множення можна дістати, якщо подати множення у такій формі:

453

132

+ 906

1359

453

59796

А лгоритм множення числа х = an an-1 … a1 a0 на число y = bm bm-1 … b1 b0 такий:

• записати множник у під множником х;

• помножити число х на число одиниць b0 числа у і записати добуток х · b0 під відповідними розрядами числа у;

• помножити число х на число десятків числа у і записати добуток х · b1, зміщуючи запис на один розряд вліво;

• цей процес множення продовжити до обчислення x · bm;

• знайдені добутки додати.