3. Адитивно-скалярні величини та їх властивості

Щоб дати означення й сформулювати властивості скалярних величин,

необхідно ввести поняття однорідних величин. Однорідними величинами

називають величини, які характеризують ту саму якість об'єктів. Наприклад,

однорідними величинами є всі довжини відрізків, усі площі фігур, усі маси тіл і т. д.

Для будь-якої системи однорідних величин повинно бути встановлено поняття рівності (а = b ) і нерівності (а < b або b > а). Довжини відрізків, наприклад, можна порівнювати за допомогою накладання, маси тіл — за допомогою терезів тощо.

Якщо в системі однорідних скалярних величин визначена операція додавання однорідних величин, яка дає змогу замінити дві однорідні величини а і b їхньою сумою а + b, то така система величин називається системою адитивно-скалярних величин. Суму п однакових доданків а + а + а +... + а позначатимемо через па.

Надалі розглядатимемо лише адитивно-скалярні величини. Поняття системи однорідних адитивно-скалярних величин можна ввести різними способами: за допомогою понять дійсного числа як функції із заданими властивостями та аксіоматично. Наведемо аксіоматичне означення. Основним об'єктом є величина, основним відношенням — відношення

доданків до суми.

Системою М однорідних адитивно-скалярних величин називається

система величин, яка характеризується такими аксіомами.

А₁. Для довільних а, b Є М виконується один і тільки один з трьох

випадків: а = b а < b, b < а.

А₂. ( а) ( b) ( с) (а < b b < с) => а < с; а, b, с Є М (транзитивність

нерівності).

А₃. ( а) ( b) ( ! с) (с = а + b); а, b, с Є М (існування і єдиність суми).

А₄. ( а) ( b) (а + b = b + а); а, b, Є М (комутативність додавання).

А₅. ( а) { b) ( с)((а+b) + с = а + (b + с)); а, b, с Є М (асоціативність

додавання).

А₆. Існує нульова величина (величина, що дорівнює нулю), яку позначають 0.

Вона має такі властивості:

а)( а) (а 0 а>0):

6)( а)(а + 0 = а);

в)( а)(0 · а = 0);аЄМ;

А₇. ( а) ( b 0) (а + b> а); а, b Є М (монотонність додавання).

А₈. ( а) ( b) (а b ( ! с) ( b + с = а); а, b, с Є М (виконуваність

віднімання).

А₉. ( а) ( п ) ( b) (пb = а); а, b ЄМ (виконуваність ділення).

А₁₀. ( а) ( b>0) ( п N)(а<пb); а, b ЄМ(аксіома Архімеда).

А₁₁. Для двох послідовностей величин

a₁<а₂<аз< ... <bз< b₂< b₁

завжди існує така величина с, яка більша від усіх а_п і менша, ніж усі b_п

(аксіома неперервності).

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Курс математики: Навч. посібник /В.Н. Боровик. - К.: Вища шк., 1995. с. 349-355.

2. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник ІВМ. Кухар. - К.: Вища шк., 1987. с. 269-274.

3. Л.П. Стойлова. Основи начального курса математики. М.: Просвещение, 1988. с. 277-287.

4. Н.Б. Істоміна. Практикум з методики викладання математики у початкових класах. М.: Просвещение, 1986. с. 26-27.

П рактичне заняття № 7

Тема. Дії з величинами. Модульний контроль

Мета. Застосувати теоретичні відомості про функції, графіки і їх властивості та величини до розв’язування вправ.

Студенти повинні знати:

• поняття величини і її вимірювання;

• величини, що вивчаються в курсі математики 1-4 класів;

• довжина і її вимірювання;

• площа фігури і її вимірювання;

• обєм, його вимірювання і властивості;

• маса тіла, її основні властивості і одиниці вимірювання;

• час, його властивості і одиниці вимірювання;

• вартість та залежність між величинами ціна, кількість, вартість.

Студенти повинні вміти:

• виконувати операції над величинами.

Література

1. Курс математики: Навч. посібник / В. Н. Боровик. – К. : Вища шк., 1995. С. 238 – 287. 349 – 379.

2. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник / В. М. Кухар. – К. Вища шк., 1980. С. 153-154, 157-161.

3. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник / В. М. Кухар. – К. Вища шк., 1987. С. 192 -199.

4. Основы начального курса математики: Учеб. пособие Л. П. Стойлова. - М. “Просвещение” 1988. С. 242 - 307.