3. Достатня умова подільності суми (різниці)

З теоретичної точки зору часто важливо знати, чи узгоджується відношення подільності на множині N₀ з арифметичними операціями. На практиці часто виникає питання: як, не виконуючи операцій, визначити, ділиться чи ні на дане число певний числовий вираз. На­приклад, чи можна розділити порівну між трьома учнями 21 зошит . у клітинку і 18 у лінійку?

Є ознаки, які дають змогу, не обчислюючи результату, дізнатися, чи ділиться на певне число сума, різниця, добуток або частка кіль­кох цілих невід'ємних чисел.

Теорема (достатня умова подільності суми). Якщо кожний доданок ділиться на натуральне число п, то й їхня сума теж ділиться на це число.

Доведення. Нехай а п і b n. Тоді за означенням поділь­ності а =nq₂ і b = пq₂, а тому а + b = пq₁ + nq₂= п (q₂+q₂). Отже, (а +b) п. Теорему доведено.

Аналогічно доводиться теорема для будь-якого числа доданків.

Чи є ця ознака подільності суми необхідною, тобто, чи буде істин­ним твердження: «Якщо сума ділиться на деяке число п, то й кожний доданок її ділиться на це число?» Ні, не буде. Наприклад 21 : 3, але ні 20, ні 1 не діляться на 3. Отже, достатня умова подільності суми не є необхідною. Обернене твердження виконується лише в окремих випадках, оскільки будь-яке натуральне число п > 2 можна зобразити у вигляді суми натуральних чисел кількома способами.

Теорема (достатня умова подільності різниці). Якщо а і b діляться на п і а  b, то а - b теж ділиться на п.

Доведення цієї теореми аналогічне попередньому.

Чи може ділитися сума двох доданків і один з них ділитися на дане число. якщо другий доданок не ділиться на це число? Ні, не може. Це дає змогу сформулювати необхідну й достатню умову подільності суми.

Теорема . Якщо один з двох доданків ділиться на дане число, то щоб їхня сума ділилася на це число, необхідно й достатньо, щоб і другий доданок ділився на це число.

Достатність умови випливає з першої теореми.

Необхідність. Нехай доданок а і сума а + b діляться на число п. Тоді (а+b) — а теж ділиться на число п. Отже, і число b також ділиться на число п.

Теорему доведено.

4. Достатня умова подільності добутку

Теорема (про подільність добутку). Якщо один з множників ділиться на натуральне число п, то й добуток ділиться на це число.

Доведення. Нехай множник а добутку аb ділиться на число п, тобто а = пq. Тоді аb = (пq) b = п (qb). Отже, аb п.

Теорему доведено.

Аналогічно доводиться твердження для більшого числа множ­ників.

Наслідок. Якщо в добутку аb множник а ділиться на т, а множник b ділиться на п, то добуток аb ділиться на тп.

Наприклад, 24 · 36 ділиться на 108, бо 108 =12·9.

Доведені теореми використовуються при розв'язуванні відповід­них задач.

Приклад. Довести, що добуток будь-яких двох послідовних натуральних чисел ділиться на 2.

Розв'язання. Серед двох послідовних натуральних чисел одне обов'яз­ково парне. Тому їхній добуток ділиться на 2.

5. Ознаки подільності чисел на 2 і на 5

Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9 чисел, записаних у десятковій системі числення, відомі з математики середньої школи. Обґрунтуємо ці ознаки, спираючись на введене означення відношення подільності та його властивості.

Теорема (ознака подільності на 2 і 5). Для того щоб число ділилося на 2 (на 5), необхідно й достатньо, щоб на 2 (на 5) ділилося число його одиниць.

Д оведення. Запишемо число а = а_nа_n-1...а₀ у вигляді суми розрядних одиниць, яку розіб'ємо на два доданки: а=(а_n10ⁿ+…a₁10) + а_n. Як бачимо, перший доданок ділиться і на 2, і на 5. Отже, щоб сума ділилася на 2 або на 5, необхідно й достатньо, щоб і другий доданок а_n ділився відповідно на 2 або на 5. Теорему доведено.

Наслідок 1. Для того щоб число а ділилося на 2, необхідно й достатньо, щоб воно закінчувалося однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Наслідок 2. Для того щоб число а ділилося на 5, необхідно й достатньо, щоб воно закінчувалося цифрою 0 або 5.