1 . Алфавіт математичної мови

Математична мова будується за певними правилами з математичних знаків, що становить її алфавіт. Знаки належать до наукових понять, які не означаються в семіотиці - науці про знакові системи. Під математичними знаками (символами) розуміють умовні позначення, якими скорочено записують математичні поняття і твердження, операції над математичними об'єктами.

Виділяють п'ять класів математичних знаків:

1) знаки об'єктів; 2) знаки операцій; 3) знаки відношень; 4) знаки відображень; 5) допоміжні знаки.

1) до знаків об'єктів відносять символи цифр десяткової і римської нумерацій, букви латинського або грецького алфавіту для позначення змінних, точок, прямих, площин, множин тощо:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, І, V, X, Д, L - знаки нумерації;

х, у, z - змінні; М, А, В, С, У, X - множини; а, b, с - елементи множин; % процент (відсоток), Ø - порожня множина;

2) знаки операцій:

"+", " - " , " ", " : " - знаки арифметичних дій;

а^х, - піднесення до степеня і добування кореня;

lq х, loq_ax - логарифмування;

[х], {х} - ціла і дробова частина числа х;

∩, U - знаки перерізу та об'єднання множин.

3) знаки відношень: =, <, >, , , , , , , //, ,  , ~, та ін.

4) знаки відображень: f, g - загальне позначення функції, відображення, S₁, S₀-симетрія відносно прямої, відносно центра, R - поворот навколо центра О на кут .

5) допоміжні знаки: круглі, квадратні та фігурні дужки, крапка, кома, крапка з комою. Вказують на порядок виконання дій, відокремлюють цілу частину від дробової, один вираз від іншого.

Сукупність логіко-математичних знаків у шкільному курсі математики називають його символікою. Знаки є вихідним матеріалом, з якого будуються за певними правилами вирази - аналоги слів і тверджень.

Під математичним словом розуміють скінченну послідовність букв математичної мови, яка має зміст. Для запису математичного речення використовують знаки відношень.

Математичний вираз - це скінченна послідовність знаків із алфавіту математичної мови. Проте не кожна послідовність знаків є математичним виразом. Наприклад, послідовність а + : // в не має смислу і тому не є математичним виразом.

2. Числові вирази

Записи, утворені зі чисел, знаків дій і дужок називаються числовими виразами. Наприклад: 3+7, 24:8, 32-4, (25+3)2-17. Кожне дійсне число також являється числовим виразом. Такі вирази називаються елементарними. Якщо А і В два числові вирази, то (А) + (В), (А) - (В), (А)  (В), (А) : (В) - також є числовими виразами. Якщо в числовому виразі А виконати, якщо це можливо, всі зазначені операції, то дістанемо число, яке називається значенням виразу А і позначається (А). Для спрощення записів числових виразів домовились:

1) елементарні вирази не брати в дужки (наприклад, пишуть так: 125+48 або 78:15);

2) не застосовувати дужки, якщо кілька елементарних виразів додаються або віднімаються, причому ці операції виконуються в порядку зліва направо (наприклад, 148+252-119);

3) не застосовувати дужок, якщо кілька елементарних виразів множаться або діляться, причому ці операції виконуються в порядку зліва направо (наприклад, 58:47-183);

4) при відсутності дужок спочатку виконувати операції множення і ділення, а потім додавання і віднімання (це дає змогу, наприклад, вираз (58:815)+(14229:56) записати так: 58:815+14229:56).

Порядок операцій при обчисленні значень числових виразів такий:

1. Якщо числовий вираз не містить дужок, то треба поділити його на частини, відокремлені одна від однієї знаками додавання й віднімання, та обчислити значення кожної такої частини, виконуючи множення й ділення в порядку зліва направо; після цього, замінивши кожну частину її значенням, знайти значення виразу, виконуючи операції додавання й віднімання в порядку зліва направо.

2. Якщо числовий вираз містить дужки, то треба взяти частини виразу, що містяться між лівою й правою дужками і не містять інших дужок, знайти їх значення за правилом 1 і замінити кожну таку частину її значенням, опустивши дужки, які її охоплюють.

Якщо після цього дістанемо вираз без дужок, то обчислити його значення за правилом 1. У противному разі знову застосувати правило 2.

Приклад. А - ((44:2-12)-(382-45)+22):3.

Спочатку знаходимо: 44:2-12=22-12=10 і 382-45=76-20=56.

Замінивши 44:2-12 і 38-2-45 їхніми значеннями, дістанемо (1056+22):3=(560+22):3=582:3=194. Отже, (А) = 194.

Але не будь-який числовий вираз має значення. Так, вираз В = 125: (23 -6) числового значення не має, оскільки ділення на нуль не можливе.