4. Перехід від недесяткової системи числення до десяткової

1-й спосіб. Використовуємо основну формулу запису числа. Наприклад, запишемо число 364127 в десятковій системі:

364127 = 3  74 + 6  73 + 4  72 + 1  7 + 2 = 7203 + 2058 + 196 + 7 + 2 = 9466.

Алгоритм. Для того, щоб будь-яке число a_q, де q ≠ 10, записати в десятковій системі числення, досить зобразити його у вигляді суми розрядних одиниць, усно виразити всі цифри і основу q у десятковій системі і виконати обчислення.

2-й спосіб. Щоб записати число а_q в десятковій системі, треба одиниці вищого розряду помножити на основу системи, додати одиниці наступного розряду, одержаний результат помножити на основу системи і т. д., аж поки не додамо одиниці останнього розряду. Розв’яжемо попередній приклад цим способом.

364127

7

21+6=27

7

189+4=193

7

1351+1=1352

7

9464+2 =9466 Отже, 36412₇ = 9466

5. Перехід від однієї недесяткової системи числення до іншої недесяткової системи числення

Для того, щоб перейти від однієї не десяткової системи числення до іншої, треба дане число а_q записати в десятковій системі, а потім перевести його з десяткової системи в систему з основою p.

Наприклад, число 36412₇ записати в системі числення з основою 5. Для цього треба перетворити це число в десяткову систему числення: 36412₇ = 9466 (з попереднього прикладу), а потім 9466 записати в п’ятірковій системі числення:

9466 = 300331₅. Таким чином, 36412₇=300331₅.

6. Алгоритми додавання і віднімання, множення і ділення чисел в недесяткових системах числення

Дії над числами в позиційній системі числення з основою р ≠ 10 виконуються за тими самими правилами, що й у десятковій системі числення. Для виконання додавання треба вміти додавати одноцифрові числа. Для цього слід складати таблиці додавання одноцифрових чисел. Таблиця додавання при р =5.

+ 1 2 3 4

1 2 3 4 10

2 3 4 10 11

3 4 10 11 12

4 10 11 12 13

Обчислимо суму 434213₅+2343₅. Запишемо доданки один під одним:

434213₅

+ 2343₅

442111₅

Можна і не користуватися таблицею, а виконувати додавання розрядних одиниць в десятковій системі, а їхню суму для запису відразу переводити у відповідну систему. В даному разі 3+3=6, але у п’ятірковій системі 6 записується як 11- одна п’ятірка і одна одиниця (6 = 5+1).

Віднімання системних чисел виконується аналогічно додаванню. Якщо а>b, то а - b = (a_n – b_n ) qⁿ +(a _n-1 – b _n-1)q ^n-1 +…+(a₁-b₁)q+(a₀-b₀)

Якщо у якійсь із різниць виявиться, що a_i<b_i, то беремо одну одиницю наступного вищого розряду і роздроблюємо її в одиниці даного розряду, дістанемо q+a_i і виконуємо віднімання:( q+a_i) – b_i. Якщо ж виявиться, що в сусідньому вищому розряді немає одиниць, беремо одиницю ще вищого розряду, вона має q одиниць попереднього нижчого розряду, в якому залишимо q-1 з цих одиниць, а одну роздробимо в одиниці потрібного нам ще нижчого сусіднього розряду і т. д. Наприклад:

343001₆

- 24213₆

314344₆

Міркуємо так: від одного відняти 3 не можна, але одиниць другого розряду у зменшуваному немає, одиниць третього розряду – теж. Беремо одну одиницю четвертого розряду. Вона має 6 одиниць третього розряду. У цьому розряді залишаємо 5 одиниць, а одну одиницю третього розряду роздроблюємо в одиниці другого розряду. Дістанемо 6 одиниць другого розряду, з них 5 залишимо в цьому розряді, а одну роздробимо в одиниці першого розряду, їх буде 6. Від 6 віднімемо 3 і додаємо 1 або до 6 додаємо 1 і потім віднімаємо 3, тобто: (6-3)+1 або (6+1)-3 і т. д.

Алгоритм множення цілих невід’ємних чисел в будь-якій системі числення з основою р такий же, як у десятковій системі числення. Як і при додаванні можна міркувати двома способами: множити одноцифрові числа в десятковій системі числення, а для запису кожний добуток переводити в систему числення з основою числення р, або ж скористатися таблицею множення в даній системі числення. Виконаємо множення у п’ятірковій системі числення:

2 43₅

321₅

243

+ 1041

1334

200103₅