- •Модуль 3
- •Тема 3.1.
- •Десяткова система числення (алгоритми виконання дій)
- •Запис і читання чисел в десятковій системі числення
- •2. Порівняння чисел за їх записом в десятковій системі числення
- •3. Алгоритм додавання в десятковій системі числення
- •4. Алгоритм віднімання в десятковій системі числення
- •5. Алгоритм множення в десятковій системі числення
- •6. Ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.
- •1 . Позиційні і непозиційні системи числення
- •2. Запис і читання чисел в інших недесяткових системах числення
- •3. Алгоритм переходу від десяткової системи числення до іншої позиційної системи з довільною основою q
- •4. Перехід від недесяткової системи числення до десяткової
- •5. Перехід від однієї недесяткової системи числення до іншої недесяткової системи числення
- •6. Алгоритми додавання і віднімання, множення і ділення чисел в недесяткових системах числення
- •Виконати множення в трійковій системі числення: 2102 · 21; 122 · 22.
- •П рактичне заняття № 1
- •План та хід заняття
- •1. Поняття відношення подільності
- •2. Властивості відношення подільності
- •3. Достатня умова подільності суми (різниці)
- •4. Достатня умова подільності добутку
- •5. Ознаки подільності чисел на 2 і на 5
- •6. Ознаки подільності чисел на 4 і на 25
- •7. Ознаки подільності чисел на 3 і на 9
- •8. Загальна ознака подільності Паскаля
- •П рактичне заняття № 2
- •План та хід заняття
- •1 . Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне
- •2. Обчислення найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного за канонічним розкладом чисел
- •3. Алгоритм Евкліда
- •4. Ознака подільності на складені числа
- •П рактичне заняття № 3
- •План та хід заняття
- •1 . Поняття дробу
- •2. Додатні раціональні числа. Алгебраїчні операції над раціональними числами
- •3. Десяткові дроби
- •Множина додатних ірраціональних чисел. Додатні дійсні числа
- •5. Алгебраїчні операції над додатними дійсними числами
- •П рактичне заняття № 4
- •Хід заняття
- •1 . Алфавіт математичної мови
- •2. Числові вирази
- •3. Вирази із змінними
- •4. Тотожні перетворення виразів. Тотожності
- •Числові рівності і нерівності
- •Основні властивості числових рівностей
- •Основні властивості числових нерівностей
- •8. Рівняння з однією змінною
- •9. Нерівність з однією змінною. Рівносильність нерівностей
- •П рактичне заняття № 5
- •План та хід заняття
- •П оняття числової функції
- •Лінійна функція
- •Пряма пропорційність
- •Обернена пропорційність
- •П рактичне заняття № 6
- •План та хід заняття
- •2. Поняття величини
- •3. Адитивно-скалярні величини та їх властивості
- •П рактичне заняття № 7
- •План та хід заняття
- •П рактичне заняття № 13
- •Практичний блок
- •План та хід заняття
- •Література
- •Модульна контрольна робота № 2 Цілі невід’ємні числа. Додавання і віднімання, множення та ділення цілих невід’ємних чисел
- •Модульна контрольна робота № 3 Цілі невід’ємні числа і операції над ними
- •Модульна контрольна робота № 4 Розширення поняття числа. Елементи алгебри. Величини та одиниці їх вимірювання
- •Додаток 4 Критерії оцінювання успішності студентів з дисципліни «Теоретичні основи математики»
- •Система рейтингових балів для різних видів контролю: Теоретичні основи математики
- •Додаток 5. Робоча програма для студентів
- •Література
1 . Позиційні і непозиційні системи числення
Поняття числа виникло в далекій давнині. Під час лічби люди використовували пальці рук і ніг, палички із зарубками, мотузки з вузликами тощо. Згодом вони стали лічити групами, які складалися з однакового числа елементів. Можливо найдавнішою була лічба парами. Лічба на пальцях обумовила виникнення п’ятіркової, десяткової, двадцяткової та інших систем числення. Щоб не зображувати багато зарубок або рисочок, стали позначати певні групи їх одним знаком. Про це свідчать клинописні тексти стародавніх шумерів і вавілонян, ієрогліфи єгиптян і китайців. Вавілоняни рахували групами по 60 одиниць. Знак ▼ означає одиницю і 60. Знак ◄ - десяток. Інші числа зображувались за допомогою цих знаків. Та, число 131 записували як ▼▼◄▼, що означало 60+60+10+1 або 602+11. Вавілонська система рахунку й запису чисел – система числення – була позиційною, значення її символів залежали від їхніх позицій у запису числа. Єгиптяни число 1 зображували ієрогліфом , 10 - ∩, 100 – С. Їхня система числення була непозиційною. Число 113 вони записували так: С ∩ .
Важливий внесок у науку про число зробили стародавні греки. Вони використовували непозиційну алфавітну систему числення. Перші дев’ять букв алфавіту зображували числа від 1 до 9, наступні дев’ять букв – десятки і останні дев’ять – сотні. Щоб відрізняти числа від слів, над числами проводили риску. Так, число 133 записували ρλγ. Для зображення великих чисел Архімед розробив більш зручну десяткову систему числення. Проте й вона була непозиційною.
Культура Київської Русі була тісно пов’язана з грецькою культурою Візантії. Тому числа також зображувалися буквами. У великому словенському численні використовувалися такі розрядні одиниці, як тьма, легіон, леодр, ворон, колода, що відповідало 106, 1012 .
З усіх стародавніх систем числення найбільш поширеною є римська. Вузловими числами цієї системи є: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M –1000, нуля немає. Усі інші числа записуються за допомогою вузлових. Якщо менше цифра стоїть справа від більшої, то вона додається до неї, при чому вона може повторюватися не більше трьох разів; якщо менша цифра стоїть зліва від більшої, то вона віднімається від неї, причому тут повторення меншої цифри не допускається. Запишемо римськими цифрами такі числа натурального ряду: від 1 до 20: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX; 40 – XL, 90 – XC, 400 – CD, 900 – CM, 1991 – MCMXCI.
Як бачимо, римська система нумерації була непозиційною, проте в ній, як і в давньогрецькій, уже були зачатки позиційного принципу.
Сучасна позиційна десяткова система числення була винайдена в Індії у V- VI ст. через арабів вона поширилася в IX cт. в Середню Азію, а пізніше – і в Західну Європу. Особливу роль у цьому відіграла книга узбецького вченого аль - Хорезмі “Трактат з арифметики”. Важливим досягненням індійської математики було введення нуля для позначення відсутності одиниць розряду в числі. Після цього десяткова система стала повністю оформленою. Видатний французький математик П. Лаплас писав, що думка виражати всі числа дев’ятьма знаками, надаючи їм, крім значення за формою, ще й значення за місцем, настільки проста, що саме через цю простоту важко зрозуміти, наскільки вона чудова; як не легко було прийти до цього методу, ми бачимо на прикладі великих геніїв грецької вченості Архімеда і Аполлонія, від яких ця думка залишилася прихованою.
Запровадження десяткової системи числення на Русі було зупинено монгольським ігом. Тільки у XVIII ст. індійська система числення витіснила слов’янську нумерацію. Важливу роль у цьому відіграла “Арифметика” М. Магницького (1703). Поступово позиційна десяткова система числення стала надбанням усіх народів світу.