Обернена пропорційність

Якщо s км – відстань, яку треба пройти туристу, t ч – час руху, а v – км/год – його швидкість

То кожному значенню швидкості співпадає єдине значення часу. Формула задає функцію. Її називають оберненою пропорційністю.

Оберненою пропорційністю називається функція, яку можна задати за допомогою формули виду , де х – незалежна змінна, а k – не рівне нулю число.

Про змінну у говорять, що вона обернено пропорційна змінній х.

Областю визначення функції є множина дійсних чисел, відмінних від нуля.

Графіком оберненої пропорційності є гіпербола.

При k>0 її вітки знаходяться в першій і третій четвертях (мал. 151) при k<0 – в другій і четвертій (мал. 152). Щоб побудувати гіперболу, потрібно скласти таблицю значень функції . Так, для функції , де х – дійсне число, відмінне від нуля, таблиця значень може бути такою:

х	1	2	3	6	12
у	6	3	2	1

При від’ємних значеннях х графік функції будується симетрично відносно початку координат. Якщо функція f – обернена пропорційність і (х₁, у₁), (х₂, у₂) – пари відповідних значень х і у, при чому х₂ ≠0, у₁≠0, то . Іншими словами, якщо , то відношення двох значень змінної х рівне оберненому відношенню відповідних значень у.

Дійсно, якщо f – обернена пропорційність, то вона може бути задана формулою , і тоді для двох різних значень х₁ і х₂ маємо, що , . Так як х₂≠0 і k≠0, у₁≠0, то . Тому .

Якщо значеннями змінних х і у є додатні числа, то доведене можна сформулювати так:

Із збільшенням (зменшенням) значень змінної х в декілька раз відповідне значення змінної у зменшиться (збільшиться) в стільки ж раз.

Наведемо приклади таких задач.

1. Потрібно спакувати в пакети 24 кг муки. Яка буде маса 1 пакета, якщо цю муку спакувати в 3 однакових пакети? в 4 пакети? в 6 пакетів? в 8 пакетів?

В задачі розглядаються три величини: маса всієї муки, кількість пакетів і маса муки в одному пакеті. Перша величина приймає одне і теж значення 24 Дві інші знаходяться в обернено пропорційній залежності, так як цю залежність можна виразити формулою , де х – кількість пакетів, а у – маса муки в одному пакеті. Знаючи це, легко знайти, що якщо муку спакувати в 3 пакета, то в одному пакеті буде 24:3=8(кг) муки; якщо в 4 пакета, то в одному пакеті буде 24:4=6(кг) муки і т.д.

2) З ділянки зібрали 4 мішки картоплі, по 50кг в кожному. Цю картоплю розклали для зберігання в ящики, по 20кг в кожний. Скільки ящиків потрібно?

В задачі розглядається залежність між всією масою картоплі між всією масою картоплі, масою картоплі в деякій ємності і кількість цих ємностей. Перша величина постійна, її значення знаходиться множенням: 5·4=200(кг), а дві інші знаходяться в обернено пропорційній залежності, яка може бути задана формулою , де х – маса однієї ємності, у – кількість цих ємностей.

Вправи

1. Вкажіть серед наступних функцій, заданих табличним способом обернені пропорційності:

1)

х	1	2	4	10	40
у	20	10	5	2

2)

х	2	3	6	8	12
у	12	8	4	3	1

3)

х	1	3	4	6	8
у	-1	-5	-7	-11	-15

4)

х	-2	-4	-3	6	12
у	6	3	4	-2	-1

2. Побудуйте графік функції при умові, що її область визначення:

1) множина дійсних чисел;

2) ;

3) ;

4) .

3. З’ясуйте, яка залежність існує між величинами, даними в задачі, і розв’яжіть її:

1) З грядки зібрали 24кг помідорів. Скільки потрібно пакетів щоб спакувати ці помідори по 1кг в пакет? по 3кг? по 4кг? по 6кг? по 8кг? по bкг?

2) Велосипедист їхав зі швидкістю 12 км/год і був в дорозі 2 год. Скільки часу потрібно пішоходу, щоб пройти цю відстань зі швидкістю 4 км/год?

3) Два столяра відремонтували стільців порівну. Перший столяр працював 6 днів, ремонтуючи по 10 стільців в день, а інший працював 5 днів. По скільки стільців в день ремонтував другий столяр?

4. Площа прямокутника з основою х см дорівнює 8см². Як висота у цього прямокутника? Покажіть, що залежність між основою і висотою прямокутника при постійній площі є функцією, і побудуйте її графік при умові, що основа прямокутника не перевищує 0,5см.

5. Завдання «Заповни пропуск так, щоб запис 24:3>24: … був правильним» студент заповнив так:

Щоб частка 24 і 3 була більше частки чисел 24 і невідомого числа … , потрібно щоб другий дільник був менше першого, наприклад 2.

Яка властивість і якої функції неявно використав студент.

Вправи

1. На складі було 400 т вугілля. Кожного дня із цього запасу витрачалося по 50 т. Запишіть формулу, яка виражає залежність кількості вугілля на складі (ут) від часу (х дн.), доведіть, що ця формула задає функцію. Вкажіть область визначення цієї функції.

2. Довжина окружності (С) з радіусом R підраховується по формулі . Функціональну залежність між якими змінними задає ця формула? Яка область визначення даної функції?

3. Чи знаходить площа квадрату в функціональній залежності від довжини його діагоналі?

4. Якому натуральному числу n із проміжку поставили в відповідності остача, яка виходить при діленні цього числа n на 4. Знайдіть його відношення за допомогою таблиці і обґрунтуйте, чого воно є функцією і яка його область визначення.

5. Знайдіть область визначення функції, задана формулою:

1)

2)

3)

4)

6. Наведіть приклади трьох вправ із посібників математики початкових класів, при виконанні яких можуть бути здійснена пропедевтика поняття функції.

7. Які із наступних вправ, взятих із підручників математики початкових класів, можуть бути використані для пропедевтики поняття функції і чого?:

1) Заповни таблицю:

с	1	3	4	6
10·с

2. Розв’яжи вираз .

3) Збільш в 3 рази кожне із чисел: 7, 5, 9, 4, 8, 6.

4) Із ряду чисел 15, 16, 17, 18 випиши те значення с, при яких правильна нерівність .

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Боровик В. Н. Курс математики: Навч. посібник / - К. : Вища пік., 1995.- С. 272-293.

2. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник / В. М. Кухар. -К. : Вища пік., 1987. - С. 143-151.

3. Стойлова Л. П. Основи начального курса математики. М.: Просвещение. 1988. - С. 262-277.