5. Алгебраїчні операції над додатними дійсними числами

Означення. Сумою додатних дійсних чисел а і b називається таке число а+b, яке задовольняє наступну нерівність: .

Справедливі наступні твердження:

1. для будь – яких додатних дійсних чисел їхня сума і снує і єдина;

2. операція додавання у множині комутативна й асоціативна;

3. операція додавання у множині має властивість монотонності.

Приклад. Знаючи, що і , знайти суму чисел з точністю до 0,0001:

Тоді а . З точністю до 0,001 сума дорівнює 3,146.

Означення. Різницею додатних дійсних чисел а і b називається таке додатне дійсне число , що .

Означення. Добутком додатних дійсних чисел а і b називається таке число аb, яке задовольняє наступні умови: .

Для будь – яких додатних дійсних чисел їхній добуток існує і єдиний;

Операція множення у множині комутативна, асоціативна і дистрибутивна відносно додавання, а також має властивість монотонності.

Приклад. Знайти добуток чисел з точністю до 0,1:

, .

Тоді 2,4393 2,4708, а

З точністю до 0,1 добуток дорівнює 2,4.

Ділення додатних дійсних чисел вводиться як операція, оберненна до операції множення.

Означення. Часткою додатних дійсних чисел а і b називається таке додатне дійсне число , що .

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Курс математики: Навч. посібник / В. Н. Боровик. – К. : Вища шк., 1995.

2. Математика (практикум): Навч. посібник / В. М. Кухар. – К. : Вища шк., 1989.

3. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник / В. М. Кухар. – К. : Вища шк., 1987.

4. Стойлова Л. П. Основы начального курса математики. М.: Просвещение. 1988.

П рактичне заняття № 4

Тема. Виконання арифметичних дій з раціональними і дійсними числами.

Мета. Набути навички виконання арифметичних дій над раціональними і дійсними числами, застосувати закони арифметичних дій до виконання обчислень.

Література

1. Курс математики: Навч. посібник / В. Н. Боровик. – К. : Вища шк., 1995. с.172.

2. Основы начального курса математики: Учеб. пособие Л. П. Стойлова. - М. “Просвещение” 1988. С.220-229 .

Студенти повинні знати:

• поняття дробу;

• поняття дійсного числа;

• означення суми, різниці, добутку, частки раціональних і дійсних чисел;

• закони арифметичних дій.

Студенти повинні вміти:

• використовувати означення суми, різниці, добутку і частки до виконання дій над раціональними і дійсними числами;

• застосовувати закони додавання і множення до виконання обчислень раціональним способом.

Хід заняття

І. Актуалізація опорних знань

1. Короткі історичні відомості про виникнення понять раціонального і дійсного числа.

2. Навести приклади задач практичного характеру, які потребують розширення поняття числа.

3. Означення дробу.

4. Основна властивість дробу.

5. Сума і різниця двох дробів (з однаковими і різними знаменниками).

6. Добуток і частка дробів.

7. Множина дійсних чисел, її властивості.

ІІ. Розв’язування вправ

1. Назвіть три дроби, рівні: 1) ; 2) .

2. Скоротіть дроби і .

3. Відомо, що при будь-якому натуральному k правильна рівність . Чи можна по аналогії стверджувати, що ?

4. Зведіть дроби , , до спільного знаменника.

5. Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні а наступні дроби не скорочуються: 1) ; 2) .

6. Які цифри потрібно поставити замість *, щоб отримати правильний дріб, що не скорочується: 1) ; 2) ?

7. Учню було запропоновано встановити, чи можна дріб записати у вигляді десяткового. Розклавши знаменник цього дробу на прості множники, він отримав, що , і зробив висновок, що дріб неможна записати у вигляді десяткового дробу. Вчитель оцінив відповідь учня як неправильну. Чому?

8. Які з дробів , , , можна записати у вигляді десяткового дробу?

9. Дріб не скоротний. Чи буде скоротним дріб ?

10. Розв’яжіть наступні задачі:

1) В цистерні було 936 л бензину. Коли перекачали 12,5% цього бензину в пусту бочку, то вона виявилася наповненою на 32,5% свого об’єму. Знайдіть об’єм бочки.

2) На фарбування 72% площі підлоги пішло 4,5 кг фарби. Скільки потрібно фарби на площу підлоги, що залишилась?

3) Завод виконав план І кварталу, виплавив 225 т металу, у ІІ кварталі план був перевиконаний на 3,2%, а в ІІІ – завод дав металу на 6,3 т більше, ніж в ІІ. На скільки процентів завод перевиконав план в ІІІ кварталі, якщо план на кожен квартал залишався однаковий?

4) Довжину прямокутної пластини зменшили на 20%, а ширину збільшили на 20%. Чи змінилася площа даної пластини? Якщо змінилася, то як?

11. Знайти значення виразів:

1)

2)

12. На основі залежності між компонентами і результатами дій знайти невідоме х:

13. Подайте число у вигляді нескінченного десяткового дробу та поясніть, чому цей дріб є періодичним.

14. Запишіть у вигляді нескінчених десяткових дробів наступні звичайні дроби: 1) ; 2) ; 3) .

15. Порівняйте значення виразів: 1) і ; 2) і .

16. Запишіть у вигляді звичайного дробу:

1) 0,(43); 2) 0,(301); 3) 5,7(27); 4) 6,31(8); 5) 15,43(29).

17. Встановіть, які з наступних рівностей істинні:

1) ; 2) ; 3) .

18. Розташуйте числа у порядку зростання:

0,125; 2,(7); 0,1(25); 2,78.

19. Відомо, що числа a = 3,6272…, b = 5,2814… . Знайдіть три перших десяткових знаків суми a+b.

20. Відомо, що числа х = 0,35…, у = 0,82… . Знайдіть перший десятковий знак добутку .

ІІІ. Самостійне розв’язування вправ

І Варіант

1. Розмістіть у порядку зростання такі числа: 1,(5); 0,(12); 2,778; 2,(778).

2. Спростіть вираз .

3. Розв’яжіть рівняння, використовуючи залежність між компонентами і результатом дій:

4. Виконати дії

5. Розв’яжіть задачу арифметичним способом.

Дівчинка прочитала книжку, в якій 324 сторінки, за 4 дні. За перший день вона прочитала всієї книжки, за другий і третій дні – по того, що залишилось після першого дня. Скільки сторінок прочитала дівчинка за четвертий день?

ІІ Варіант

1. Розмістіть у порядку зростання такі числа: 1,(2); 0,(21); 3,256; 3,(28).

2. Спростіть вираз .

3. Розв’яжіть рівняння, використовуючи залежність між компонентами і результатом дій:

4. Виконати дії

5. Розв’яжіть задачу арифметичним способом.

За перший рік було побудовано всієї дороги, наступного року - всієї дороги, а за третій рік – решту 5 км. Якої довжини була дорога?

ІІІ Варіант

1. Розмістіть у порядку зростання такі числа: 0,151; 2,(71); 2,1(25); 2,18.

2. Спростіть вираз .

3. Розв’яжіть рівняння, використовуючи залежність між компонентами і результатом дій:

4. Виконати дії

5. Розв’яжіть задачу арифметичним способом.

У квартирі дві кімнати. Довжина однієї дорівнює м, довжина іншої складає цієї довжини. Ширина кожної кімнати м. Площа цих кімнат складає площі всієї квартири. Чому дорівнює площа квартири?

ІV Варіант

1. Розмістіть у порядку зростання такі числа: 2,125; 2,(12); 0,3(17); 0,3178.

2. Спростіть вираз .

3. Розв’яжіть рівняння, використовуючи залежність між компонентами і результатом дій:

4. Виконати дії

5. Розв’яжіть задачу арифметичним способом.

Група туристів запланувала пройти шлях від турбази до озера за чотири дні. За перший день вони планували пройти всього шляху, за другий , що залишився, а за третій і четвертий проходити по 12 км. Яка довжина всього шляху від турбази до озера?

ІV. Підсумок. Домашнє завдання

• Алфавіт математичної мови.

• Числові вирази.

• Вирази із змінними.

• Тотожні перетворення виразів. Тотожності.

• Числові рівності і нерівності.

• Основні властивості числових рівностей.

• Основні властивості числових нерівностей.

• Рівняння з однією змінною. Множина коренів

рівняння. Рівносильні рівняння.

• Нерівності з однією змінною.