9. Нерівність з однією змінною. Рівносильність нерівностей

Речення виду 2х+7 >10-х, х²+7х<2, (х+2) (2х-3)>0 називають нерівностями з однією змінною.

Означення. Нехай f(x) і g(x) – два вирази із змінною х і областю визначення Х. Тоді нерівність виду f(x)>g(x) або f(x)<g(x) називається нерівністю з однією змінною.

Значення змінної х із множини Х, при якому нерівність обертається в істинну числову нерівність називається його розв’язком. Знайти множину розв’язків даної нерівності – значить розв’язати цю нерівність.

В шкільному курсі математики розглядаються різноманітні нерівності з однією змінною. Нас будуть цікавити в основному нерівності першого степеня. В основі розв’язування таких нерівностей так як і розв’язування рівнянь, лежить поняття рівносильності і теореми про рівносильність нерівностей.

Означення. Дві нерівності називаються рівносильними, якщо їх множини розв’язків рівні.

Наприклад, нерівності 2х+7>10 і 2х>3 рівносильні, так як їх більшість рішень рівні і являють собою проміжок .

Теореми про рівносильність нерівностей і наслідки з них по своєму змісту схожі на відповідні теореми про рівносильність рівнянь, а доведення їх проводяться аналогічно доведенням теореми 1 про рівносильності рівнянь.

Теорема 3. Нехай нерівність f(x)>g(x) задано на множині Х і h(x) – вираз, визначений на тій же множині. Тоді нерівності х(х)>g(x) і f(x)+h(x)>g(x)+h(x) рівносильні на множині Х.

З цієї теореми випливають наслідки, які часто використовуються при розв’язуванні нерівностей:

1. Якщо до обох частин нерівності f(x)>g(x) додати одне і теж дійсне число d, то одержимо нерівність f(x)+d>g(x)+d, рівносильну даній.

2. Якщо який-небудь доданок (числовий вираз або вираз із змінною) перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши знак доданка на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

Теорема 4. Нехай нерівність f(x)>g(x) задано на множині Х і h(x) – вираз, визначений на тій же можині і для всіх х з множини Х h(x)>0. Тоді нерівності f(x)>g(x) і f(x)∙h(x)>g(x)∙h(x) рівносильні на множині Х.

З цієї теореми випливає наслідок :

Якщо обидві частини нерівності f(x)>g(x) помножити на одне і теж від’ємне дійсне число d, то отримаємо нерівність f(x)∙d<g(x)∙d, рівносильну висхідній.

Теорема 5. Нехай нерівність f(x)>g(x) задано на можині Х і h(x) – вираз, визначений на тій же множині і для всіх х з множини Х h(x)<0. Тоді нерівності f(x)>g(x) і f(x)∙h(x)<g(x)∙h(x) рівносильні на множині Х.

З цієї теореми виходить наступне:

Якщо обидві частини нерівності f(x)<g(x) помножити на одне і те ж від’ємне дійсне число d і знак нерівності змінити на протилежний, то одержимо нерівність f(x)∙d<g(x)∙d, рівносильну даній.

Розв’яжемо нерівність 5х-5<2х-16, х R, і вияснимо, які теоретичні положення були при цьому використані.

Хід розв’язання	Використані теоретичні положення
1. Перенесемо вираз 2х в ліву частину, а число – 5 в праву: 5х-2х<16+5.	Скористувались наслідком 2 із теореми 3, одержали нерівність, рівносильну даній.
2. Зведемо подібні члени в лівій і правій частинах нерівності: 3х<21.	Виконали тотожне перетворення виразів в лівій і правій частинах нерівності, вона не порушили рівносильності нерівностей.
3. Розділимо обидві частини нерівності на 3: х<7.	Скористувались наслідком з теореми 4, одержали нерівність, рівносильну даній.

Розв’язком нерівності х<7 є проміжок . Таким чином множина розв’язків нерівності 5х-5<2х+16 є множина чисел .

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Боровик В. Н. Курс математики: Навч. посібник / - К. : Вища пік., 1995.- С. 238-240, 244-247, 248-259.

2. Кухар В. М. Математика (практикум): Навч. посібник / - К. : Вища пік., 1989.- С. 79-85.

3. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник / В. М. Кухар. -К. : Вища пік., 1987. - С. 76-77.

4. Стойлова Л. П. Основи начального курса математики. М.: Просвещение. 1988. - С. 242-247. 252-259.