- •Модуль 3
- •Тема 3.1.
- •Десяткова система числення (алгоритми виконання дій)
- •Запис і читання чисел в десятковій системі числення
- •2. Порівняння чисел за їх записом в десятковій системі числення
- •3. Алгоритм додавання в десятковій системі числення
- •4. Алгоритм віднімання в десятковій системі числення
- •5. Алгоритм множення в десятковій системі числення
- •6. Ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.
- •1 . Позиційні і непозиційні системи числення
- •2. Запис і читання чисел в інших недесяткових системах числення
- •3. Алгоритм переходу від десяткової системи числення до іншої позиційної системи з довільною основою q
- •4. Перехід від недесяткової системи числення до десяткової
- •5. Перехід від однієї недесяткової системи числення до іншої недесяткової системи числення
- •6. Алгоритми додавання і віднімання, множення і ділення чисел в недесяткових системах числення
- •Виконати множення в трійковій системі числення: 2102 · 21; 122 · 22.
- •П рактичне заняття № 1
- •План та хід заняття
- •1. Поняття відношення подільності
- •2. Властивості відношення подільності
- •3. Достатня умова подільності суми (різниці)
- •4. Достатня умова подільності добутку
- •5. Ознаки подільності чисел на 2 і на 5
- •6. Ознаки подільності чисел на 4 і на 25
- •7. Ознаки подільності чисел на 3 і на 9
- •8. Загальна ознака подільності Паскаля
- •П рактичне заняття № 2
- •План та хід заняття
- •1 . Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне
- •2. Обчислення найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного за канонічним розкладом чисел
- •3. Алгоритм Евкліда
- •4. Ознака подільності на складені числа
- •П рактичне заняття № 3
- •План та хід заняття
- •1 . Поняття дробу
- •2. Додатні раціональні числа. Алгебраїчні операції над раціональними числами
- •3. Десяткові дроби
- •Множина додатних ірраціональних чисел. Додатні дійсні числа
- •5. Алгебраїчні операції над додатними дійсними числами
- •П рактичне заняття № 4
- •Хід заняття
- •1 . Алфавіт математичної мови
- •2. Числові вирази
- •3. Вирази із змінними
- •4. Тотожні перетворення виразів. Тотожності
- •Числові рівності і нерівності
- •Основні властивості числових рівностей
- •Основні властивості числових нерівностей
- •8. Рівняння з однією змінною
- •9. Нерівність з однією змінною. Рівносильність нерівностей
- •П рактичне заняття № 5
- •План та хід заняття
- •П оняття числової функції
- •Лінійна функція
- •Пряма пропорційність
- •Обернена пропорційність
- •П рактичне заняття № 6
- •План та хід заняття
- •2. Поняття величини
- •3. Адитивно-скалярні величини та їх властивості
- •П рактичне заняття № 7
- •План та хід заняття
- •П рактичне заняття № 13
- •Практичний блок
- •План та хід заняття
- •Література
- •Модульна контрольна робота № 2 Цілі невід’ємні числа. Додавання і віднімання, множення та ділення цілих невід’ємних чисел
- •Модульна контрольна робота № 3 Цілі невід’ємні числа і операції над ними
- •Модульна контрольна робота № 4 Розширення поняття числа. Елементи алгебри. Величини та одиниці їх вимірювання
- •Додаток 4 Критерії оцінювання успішності студентів з дисципліни «Теоретичні основи математики»
- •Система рейтингових балів для різних видів контролю: Теоретичні основи математики
- •Додаток 5. Робоча програма для студентів
- •Література
2. Запис і читання чисел в інших недесяткових системах числення
Застосовують також інші системи числення. В астрономії з давніх-давніх застосовується шістдесяткова система числення. Основою цієї системи є число 60. Так 60 сек = 1хв, 60 хв= 1 год, 60''=1', 60'=1°.
Взагалі, основою системи числення може бути будь-яке натуральне число р≥2. Для запису числа в такій системі числення використовується р символів: 0, 1, 2, …, р-1.
Будь-яке натуральне число а можна зобразити в довільній позиційній системі числення з основою q.
Записом цілого невід’ємного числа х в q -тій системі числення називається його подання у вигляді:
х = qn10n + qn-110 n-1 + …+ q2102 + q1.10 + q0, х = qn q n-1 … q2 q1 q0.
Числа 1, q, q 2, q 3, …, q n називаються розрядними числами.
Наприклад, х=2∙33+0∙32+1∙3+1=2011(3) є записом числа 58 у системі числення з основою q =3. Його можна читати так: два, нуль, один, один у трійковій системі числення.
Найменше число знаків для зображення чисел використовує двійкова система числення: 0 і 1. Так у двійковій системі числення число 13 зображується так: 1101(2).
Порівняння чисел, записаних в системі числення з основою q, виконується так само, як і в десятковій системі числення: порівнюються цифри, починаючи із старших розрядів. Порівняємо, наприклад, числа, записані в системі числення з основою q = 13:
2(12)(11)1(13)= 2 ∙ 133 + 12 ∙ 132 + 11 ∙ 13 + 1 = 6666(10).
2(11)(12)1(13)= 2 ∙ 133 + 11 ∙ 132 + 12 ∙ 13 + 1 = 6410(10).
Як бачимо, у записаних числах, перша цифра одна й та сама, а друга у першому числі більша, ніж у другому, тому перше число більше від другого. Цей факт очевидний при записі натуральних чисел у десятковій системі числення.
3. Алгоритм переходу від десяткової системи числення до іншої позиційної системи з довільною основою q
Якщо дане число менше від основи системи числення, до якої треба перейти, то його так і записують. Наприклад у вісімковій системі числення числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 записують так само, як і в десятковій, - це однозначні числа. Число 9 записують вже так 11(8) , тобто одна вісімка і одна одиниця; 10 записують як 12(8). При великих числах усно важко виконати такий перехід. Використовують таке правило.
Правило. Щоб натуральне число, записане в десятковій системі, подати в позиційній системі при основі q, треба поділити це число на основу q; частку знову поділити на q і т. д. Одержані при цьому послідовні остачі будуть цифрами цього числа, записаними при основі q: перша остача – цифрою одиниць, друга остача – цифрою одиниць другого розряду (q), третя остача – цифрою одиниць третього розряду (q2) і т. д., остання остача – цифрою найвищого в цьому числі розряду.
Запишемо число 869 при основі q = 4. Виконаємо послідовні ділення.
4
868 217 4
1 216 54 4
1р. 1 52 13 4
ІІр. 2 12 3
ІІІр. 1
ІVр. Vр.
869 = 312114