3. Вирази із змінними

Розглянемо запис 2а+3. Він утворений із знаків алфавіту математичної мови: цифр 2 і 3, знаків дій додавання "+" і букви а. Якщо замість букви а підставити числа, то одержимо різні числові вирази:

Якщо а = 3, то 23+3;

Якщо а = 7, то 27+3;

Якщо а = - 4, то 2(-4)+3.

В записі 2а+3 буква а називається змінною, а сам запис 2а+3 - вираз із змінною.

Змінну можна позначити будь-якою буквою латинського алфавіту. В початковій школі для позначення змінної, крім букв, використовують також знак □. Наприклад, пишуть 2□+З. Таким чином, змінна - це знак (символ), який можна замінити числами. Числа, які підставляють у вираз замість змінної, називаються значеннями змінної, а множина таких чисел - областю визначення даного виразу. Замість змінної у вираз можна підставляти тільки такі її значення, при яких одержимо числовий вираз, який має зміст. Вираз із змінною позначається А(х). Читається "А від х".

Приклад 1. А(х) =3-4х. Змінна х може приймати будь-яке дійсне значення. Область визначення - R множина всіх дійсних чисел.

Приклад 2. А(х)= 4/ (х-3). При х=3 числовий вираз не має змісту. Область визначення цього виразу є множина (- , 3)U(3, + ).

В математиці розглядають вирази з однією, двома і т. д. змінними. А(х, у) = Зх+7у, B(x,y,z) = 6x-(2y-7z).

В початкових класах учні спочатку знайомляться з виразами 2 + 3, 7 - 4, називаючи їх сумою і різницею. Після ознайомленням з діями множення і ділення розглядають вирази 5∙9, 14:2. Учні знаходять значення числових виразів, іноді записують розв'язування текстової задачі у вигляді числового виразу, складають за даним виразом задачу. Робота з буквенними виразами зводиться до підстановки замість букв їх значень, та обчисленню значень числового виразу, який одержали.

4. Тотожні перетворення виразів. Тотожності

Два вирази А(х) і В(х) з непорожніми областями визначення називають тотожно рівними, якщо їхні області визначення збігаються і для будь-якого числа а, що належить спільній області визначення розглядуваних виразів, значення останніх при х = а рівні між собою.

Наприклад, вирази (х+1)² і х²+2х+1 тотожно рівні, а вирази х/5 і х² /(5х) не є тотожно рівними.

Два вирази А(х) і В(х), сполучені знаком = ("дорівнює"), називають рівністю і пишуть А(х)=В(х).

Якщо вирази А(х) і В(х) тотожно рівні, то це записують як рівність А(х)=В(х), яку називають тотожністю.

Наприклад, рівність (х+1)²=х²+2х+1 є тотожністю. Зрозуміло, що тотожністю є й будь-яка істинна числова рівність.

Іноді при розгляді питань тотожної рівності двох виразів виникає необхідність обмежувати області визначення цих виразів.

Два вирази А(х) і В(х) з непорожніми областями визначення називаються тотожно рівними на множині М якщо множина М є непорожньою підмножиною областей визначення цих виразів і для будь-якого а  М значення розглядуваних виразів при х = а однакові.

Якщо вирази А(х) і В(х) є тотожно рівними на множині М, то записують: А(х)=В(х) при х  М; цю рівність називають тотожністю на множині.

Вирази х/5 і х² /(5х) тотожно рівні на множині M=R\{0}

Запис х/5 = х² /(5х) при х  M=R\{0} є тотожністю на множині.

На основі властивостей операцій над дійсними числами та відомих тотожностей на практиці встановлюють тотожність виразів, розуміючи тотожні перетворення даного виразу як послідовний перехід від одного виразу до іншого, що тотожно дорівнює йому.