Лінійна функція

Якщо учень купив х олівців по 4к. за кожен і зошити по 13 к., то ціна (у к.) його покупки може бути визначена так: у=4х+13. Залежність між кількістю куплених олівців і ціною всієї покупки є функція, так як кожному значенню х відповідає єдине значення у. Ця функція називається лінійною.

Лінійною функцією називається функція, яку можна задати з допомогою формули виду y=kх+b, де х – незалежна змінні, а k і b – задані дійсні числа.

Якщо k=0, то виходить функція виду у=b, її називають постійною функцією.

Областю визначення лінійної функції є множина дійсних чисел. Графіком лінійної функції y=kх+b є пряма. Положення цієї прямої на площині визначають коефіцієнти k і b. Покажемо це.

Роздивимося спочатку графіки функції, заданих формулами (мал. 145).

В даних виразах коефіцієнт k приймає різне значення, а коефіцієнт b постійне. Якщо позначити через кут між віссю ОХ і графіком лінійної функції і виміряти його проти часової стрілки, то можна побачити, що величина цього кута залежить від коефіцієнта k. Якщо , то кут гострий (мал. 146); якщо ж , то кут тупий (мал. 147). Із малюнка 145 видно, що, чим більше модуль числа k, тим ближче пряма y=kx+b до осі Оу.

Так, як коефіцієнт k зв’язаний з кутом , то k називають кутовим коефіцієнтом.

Розглянемо тепер функції, задані формулами у=х+3 та у=х-3 (мал. 148).

В них коефіцієнт k один і той же, а коефіцієнт b приймає різне значення, Порівнюючи побудовані на малюнку 148 прямі, підмічаємо, що при зміні b графік переміщується паралельно самому собі. Якщо х=0, то у= b, тобто точка (0, b) належить графіку функції у= k х+ b, тому, коефіцієнт b є значенням довжини відрізка, відтинаючого прямою на осі Оу. Так, для функції у=х+3 та у=х-3 цей відрізок складає 3 одиниці.

Якщо звернути увагу до малюнку 145, то можна побачити, що при k>0 функція у= k х+ b зростає, а при k<0 спадає по всій області визначення. Дійсно, нехай х₁<х₂. Тоді у₁= k х₁+ b, у₂= k х₂+ b. Порівняємо у₁ та у₂: у₂- у₁₌ (k х₂+ b)- (k х₁+ b)= k(х₂-х₁).

По умові х₂-х₁>0, значить знак рівності у₂ - у₁ залежить від знака коефіцієнта k. Якщо k>0, то у₂- у₁>0, і поступово, із того, що х₁<х_2, виходить, що у₁ < у₂, тобто функція у= k х+ b зростаюча на множині дійсних чисел. Якщо k<0, то у₂- у₁<0, звідки у₁ >у₂ та виходячи із того, що х₁<х₂ виходить, що у₁ > у₂, тобто функція у= k х+ b спадаюча на множині дійсних чисел.

Вправи

1. Побудуйте графік функції у=2х-3 при умові, що її областю визначення є: а) R; б) ; в) .

2. Відомо, що графік функції у=2х+ b проходить через точку (1,4). Чи пройде вона через точку (3,8)?

3. Знайти коефіцієнти k і b, яка функція задана формулою: а) х-2х=-3; б)2х-3у=-10; в) х-3у=0.

4. Залежність маси (у) ящика з деталями від числа деталей (х) виражається формулою у=0,3х+1,5. Обчисліть масу ящика із деталями при наступних значеннях.

х	10	15	20	23
у

Яким буде графік даної залежності?

5. До привалу туристи пройшли 12км. Після привалу вони йшли х годин зі швидкістю 2,5км/год. Складіть формулу, яка виражає залежність між часом руху (х) і всією пройденою відстанню (у). Яку функцію задає ця формула? Яка область визначення даної функції, якщо весь пройдений туристами шлях не перевищує 25 км?

6. Залежність ціни (у) телеграми від числа слів (х) в ній виражається формулою у=5х+20. Обчисліть ціну телеграми при наступних значеннях х:

х(слів)	10	16	25	30
у(копійок)

Яка область визначення даної залежності, якщо ціна телеграми не перевищує 1грн. 20к.?

7. Із населеного пункту в місто, яке знаходиться на відстані 20км, зі швидкістю 5км/год відправився пішохід. На якій відстані (s км) від міста буде пішохід через t годин? Які значення може приймати t?