6. Ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.

Ділення чисел — операція, обернена до операції множення. Вона полягає у знаходженні за відомими добутком двох множників і одним із множників другого (невідомого) множника. Тому при діленні одноцифрових і двоцифрових чисел на одноцифрове використовується таблиця множення одноцифрових чисел. При цьому можуть бути такі два випадки:

1) за таблицею множення знаходять повну частку, як, наприклад, при діленні числа 63 на 9;

2) за таблицею множення знаходять неповну частку і обчислюють остачу, як у випадку ділення числа 65 на 9:

65 = 9 · 7 + 2, або 65 : 9 = 7 (ост. 2). Отже, взагалі процес ділення цілого невід'ємного числа а на нату­ральне число b є дія ділення з остачею, яка полягає у знаходженні таких цілих невід'ємних чисел q і r, що a = bq + r, де 0 £ r < b. Оскільки bq £ а < b (q + 1), то процес ділення числа а на число b полягає спочатку у знаходженні такого цілого числа q, яке б задо­вольняло цю нерівність. Тоді остача r = а - bq. Наприклад, для ви­конання ділення 637 на 25 треба знайти такі цілі невід'ємні числа q і r, щоб 637 = 25q + r. Подвійна нерівність 25q £ 637 < 25 (q + 1) дає змогу встановити число цифр у неповній частці q. Справді, оскільки 25 · 10 < 637 < 25 · 100, то частка q — двоцифрове число. Для зна­ходження цифри її десятків помножимо послідовно дільник 25 на 10, 20, ... Оскільки 25 · 20 < 637 < 25 · З0, то цифра десятків неповної частки дорівнює 2, а сама частка 20 < q < З0, тобто q = 20 + q1, де q1 - число одиниць. Через те що 25 · (20 + q1) £ 637 < 25 · (20 +q1 + 1), маємо 500 + 25q1 £ 637 < 500 + 25 (q1 + 1), або 25q1 £ 137 < 25 (g1 + 1).

Число q1 — одноцифрове. Його можна знайти, послідовно помно­жаючи 25 на 1, 2, 3, ... Дістанемо: 25 · 5 = 125, а 25 · 6 = 150. Тому число одиниць частки дорівнює 5. Отже, неповна частка q= 25, а остача r = 637 – 625 = 12 і 637 = 25 · 25 + 12.

Викладені міркування лежать в основі ділення «кутом»;

637 25

50 25

137

125

12

Загальний алгоритм ділення цілого невід'ємного числа а на нату­ральне число b такий:

• якщо а = b, то частка q = 1, остача r = 0;

• якщо а > b і число розрядів у чисел а і b однакове, то, помножа­ючи b послідовно на числа 1,2, ..., 9, знаходять частку q від ділення числа а на число b і остачу r = а – bq;

• якщо а > b і число розрядів у числі а більше, ніж у числі b, то частку і остачу шукають так: у числі а зліва відокремлюють стільки розрядів, скільки їх має і число b чи на один розряд більше, а число с1, ними утворене, дорівню­вало б чи було б більше від числа b, далі підбирають серед чисел 1, 2, ..., 9 такий множник q1, що bq1£ с1, число bq1 підписують під числом с1 і віднімають. Дістають r1= с1 - bq1. Це число записують під числом bq1, потім справа до r1 приписують цифри першого з невикористаних розрядів діленого а і порівнюють здобуте число з числом b; якщо воно не менше b, то повторюють вище розглянутий процес, якщо ж воно менше b, то приписують до нього ще стільки розрядів, щоб воно було не менше числа b, і знову застосовують розглянутий вище процес.

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Курс математики: Навч. посібник / В. Н. Боровик. – К. : Вища шк., 1995. с. 141-146.

2. Математика (практикум): Навч. посібник / В. М. Кухар. – К. : Вища шк., 1989. с. 229-230. 236 – 239.

3. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник / В. М. Кухар. – К. :вища шк., 1987. с. 199-206.

4. Л. П. Стойлова. Основы начального курса математики.М. Просвещение. 1988. с. 166 - 183.

• Позиційні і непозиційні системи числення.

• Запис і читання чисел в інших недесяткових системах числення.

• Алгоритм переходу від десяткової системи числення до іншої позиційної системи з довільною основою q.

• Перехід від недесяткової системи числення до десяткової

• Перехід від однієї недесяткової системи числення до іншої недесяткової системи числення.

• Алгоритми додавання і віднімання, множення і ділення в недесятковій системі числення.