- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
Глава 6
В принципе, как мы уже видели, из физических соображений следует, что должна существовать возможность выбрать zx = оо, х2 = 1 и xN = 0. Действительно, легко понять, что в струнной теории мы должны фиксировать три точки, так как амплитуда в том виде, в котором она выписана, инвариантна относительно преобразований Мёбиуса:
где at Ъ, с и d — вещественные числа и ad— be = 1. (Эта инвариантность имеет место только в том случае, когда к2 = 2, т. е. испускаемые частицы должны находиться на массовой поверхности.) На операторном языке преобразования (6.15) генерируются операторами Lu Lo и L-\ (которые образуют подалгебру алгебры Вирасоро).
Инвариантность относительно преобразований Мёбиуса позволяет преобразовать три переменные Zi так, чтобы они совпали с тремя фиксированными числами, поэтому интегрирование по этим трем переменным является лишним. Чтобы в амплитуде не было трех выделенных частиц, мы должны выполнить деление на инвариантную меру (меру Хаара). Это достигается, если переписать амплитуду в виде
N d
А* =**"-*[ Пт^<°1к^ Zl) ••• V{k"> z">l°>' (бЛ6)
£ = 1 l
a
dzb
dV =
(za " zb) (zb ~ zc) (*c - za) '
dza dz
в последнем выражении ха, гь, zc— любые три точки из набора Zi.
Амплитуда (6.16) в действительности допускает более общие преобразования, а именно преобразования (6.15) без требования вещественности параметров а, Ь, с и d. Тогда мы можем деформировать вещественную ось в кривую на комплексной плоскости. Возьмем преобразование в виде
- iz
V: (6-17)
тогда вещественная ось отобразится в единичную окружность. Если в амплитуду (6.14) подставить меру Хаара, в которой точки z принадлежат единичной окружности, мы получим известную формулу Коба — Нильсена для амплитуды рассеяния N частиц [54]. Из выражения (6.14) легко видеть, что амплитуда имеет правильную структуру полюсов- Остается доказать,
Операторный формализм 61
что в вычетах взаимодействуют только физические состояния. Чтобы доказать это утверждение, и был развит первоначально операторный формализм. Поэтому вернемся к выражению (6.8). Явные вычисления приводят к формуле
[La, V(k,z)} = zn(z^ + n^)V(kyz). (6.18)
Если оператор преобразуется по такому правилу, то говорят, что он имеет конформный спин k2/2. В частности, мы получаем
V(k,z)\^z-^V{k, 2), (6.19)
что равносильно выражению
V (kt г) = zL«V (k, 1) z~lk (6.20)
Рассмотрим теперь амплитуду (6.16) с фиксированной группой Мёбиуса z\ = оо, z2 = 1, zn = 0:
(=3
(6.21)
При выводе последнего выражения мы воспользовались равенством (6.20), перешли к переменным Чана [55]
yi = zi/zt_l (6.22)
и проинтегрировали по этим переменным. Мы снова явно видим структуру полюсов. Остается доказать, что в вычетах появляются только состояния, удовлетворяющие условиям Вирасоро (6.13). Для этой цели воспользуемся соотношениями
[Ln - LOt V (k)} = | k2V (k), где V(k) = V{k, 1), (6.23)
J L -«),
(6.24)
где первое условие является следствием формулы (6.18), а второе следует из алгебры Вирасоро. Комбинируя их, получаем
{Ln
-
U
+
1) t^y
V
(k) =
Lo
+
1ft_1
V
(k) (Ln
-
I*
+
1). (6.25)
Следовательно, оператор (Ln — Lq-\- 1) эффективно коммутирует со всей цепочкой пропагаторов и вершин в амплитуде, поэтому его можно протащить вправо и он будет действовать
62 Глава 6
непосредственно на "вакуум" \0)exp(ikN-x), а это дает нуль. Последнее означает, что в вычетах взаимодействуют только физические состояния, и мы доказали, что амплитуда имеет правильную структуру полюсов. Заметим, что все время неявно предполагалось, что испущенные частицы находятся на массовой поверхности. Поэтому рассмотренные амплитуды можно использовать только в качестве элементов S-матриц. Проблема нахождения правильных амплитуд вне массовой поверхности представляет собой очень трудную задачу для дуальных моделей. Одно из решений этой задачи будет найдено в полевой теории струн.
Замечательное свойство амплитуды (6.16) состоит в том, что она обладает циклической симметрией по внешним состояниям. Например, если взять последний вершинный оператор, то мы можем, коммутируя его с другими вершинными операторами нужное число раз, поставить его после всех остальных вершинных операторов. Явные вычисления дают
V (ku zx) V {k2, z2) = V (k2> z2)V(ku 2,)ехр[Ыг, • k#(zx - z2)\. (6.26)
Отсюда видно, что процесс коммутирования V(kx, zn) со всеми остальными вершинными операторами в конечном счете приводит к появлению фазового множителя. Если учесть закон сохранения импульса (а также условия массовой поверхности), то оказывается, что этот фазовый множитель равен единице. Следовательно, мы получаем
t zN)V(ku z,) ... V(kN_u г^ 1=1 ' (6.27)
Правило коммутирования (д.26) математически плохо определено, но правильность выражения (6.27) легко установить на основе формулы (6.14), если считать, что zi в (6.14) лежат на единичной окружности. Математическая строгость достигается, если в коммутаторе считать, что импульсы лежат на решетке; такое рассмотрение проведено для случая гетеротиче-ской струны в гл. 5.
Свойство циклической симметрии амплитуды есть не что иное, как свойство дуальности, которое положено в основу дуальных моделей. Из этого свойства следует, что амплитуда имеет полюсы не только в тех каналах, которые показаны на рис. 6.2, но также и во многих других, а именно во всех каналах с импульсами {ki + kt+\ + ••• +&;+п)2 — —2МУ где n^.Nr М — целое число и М ^—1. Это значительно уменьшает количество слагаемых, необходимых для получения полной ампли-
Операторный
формализм 63
Рнс. 6.3. Факторизованная амплитуда струны.
туды. Чтобы построить полную амплитуду, нужно лишь взять «сумму по всем циклически неэквивалентным перестановкам. Именно это делает операторный формализм столь полезным в теории струн. Амплитуда (6.16) содержит всю информацию о вершинах для других физических состояний. Благодаря свойству дуальности амплитуда может быть факторизована, как показано на рис. 6.3. Если принять, что (&;-{-&E-+i)2 = —2М, то вычет дает выражение для амплитуды, у которой одна внешняя частица имеет квадрат массы, равный 2М. Выражение для такой амплитуды может быть также получено с помощью «возбужденного» вершинного оператора. Дальнейшую информацию об этом можно найти в работе [56].
Если мы вернемся к тому, с чего начали, и обратимся к рис. 6.2, то увидим, что до сих пор мы рассматривали только частицы, испущенные из точки а = 0. Действительно, для древесных амплитуд этого вполне достаточно, так как имеется свойство дуальности. Но если включить в рассмотрение петлевые диаграммы, то мы должны допустить, что частицы испускаются и с другого конца струны из точки о = я. Такие диаграммы могут оказаться топологически неэквивалентными, поэтому они тоже должны учитываться. В нашем формализме легко построить вершину для испускания частицы из точки (7 = я. По аналогии с выражением (6.8) определим ее как
V(kt T) = ;^(^x):==(_l)^(^ Т)(-1)Я, (6.28)
где N — оператор числа частиц (2.57). Оператор Q = (—1)* называется «оператором твиста».
С помощью таких вершин мы можем, например, рассматривать такие диаграммы, как изображенная на рис. 6.4.
Упорядочение переменных интегрирования устроено так, что переменные (времена), соответствующие частицам, испущенным из точки а = О, и частицам, испущенным из точки а = я,
Рис. 6А Диаграмма струны, испускающей с обоих концов частицы.
64 Глава 6
упорядочиваются независимо друг от друга. Другими словами, один конец струны ничего не знает о том, что происходит на другом конце.
Все однопетлевые амплитуды были рассчитаны в операторном формализме. Чтобы их получить, по существу нужно взять следы от древесных амплитуд. Легко видеть, что такой простой процедуры на самом деле оказывается недостаточно. Дело в том, что в этом случае в вычетах появляются нефизические состояния. Чтобы устранить этот недостаток, надо вставить в амплитуду проектор на физические состояния. Явные вычисления приведены в работе [57]. Более современный метод состоит в использовании духов Фейнмана — Фаддеева — Попова [58]. Непосредственно видно, что это приводит к правильному результату [59].
При переходе к высшим петлям ситуация значительно усложняется, поскольку соответствующие диаграммы обязательно содержат вершинные операторы, в которых три струны находятся вне массовой поверхности. Но даже в этом случае были получены красивые результаты, основанные на топологии таких диаграмм, хотя и не все тонкости были доказаны. Дальнейшее обсуждение этих вопросов увлекло бы нас слишком далеко в сторону от основной темы этой главы, поэтому мы отсылаем читателя к литературе [60].
Операторный формализм для модели Рамона — Неве — Шварца строится совершенно аналогично процедуре в модели Венециано. Вершина излучения тахиона (в случае открытых струн) получается из рассмотрения струны, испускающей частицу с одного из концов. Здесь естественно использовать суперполевую формулировку и рассмотреть вершинный оператор [39]:
V (k, z, 9) = :ехр [ik • <£ (а = 0, г = eix, 9 = 9, = — 92)]:. (6.29)
При этом нужно выбрать подходящие граничные условия, соответствующие сектору Рамона или Неве — Шварца. Тогда мы можем построить //-точечную амплитуду как корреляционную функцию таких вершинных операторов:
N
An = gN-* \ -^r- Y[dQt(O\V(kl,zue)...V(kN, zN, %) | 0). (6.30)
£=1
В случае, если взят рамоновский сектор, вакуум является спинором {с равными нулю массой и импульсом). После интегрирования по 9, которое в действительности является тривиальным (и дает общий множитель (—)^/2), а также используя
Операторный формализм 65
уравнения движения для х* и Л*\ получаем следующие вершины, соответствующие секторам Неве — Шварца и Рамона:
(z):e»'«W:f (6.31)
Уя (k, z) = k ■ Г (z) \eik'^zK (6.32)
где
= —oo
(6.33) dlz~n (6.34)
П
и уц = 7o7i • • • Y9- Отметим, что рамоновская вершина испускает скалярную частицу, хотя возможно также испускание псевдоскалярной частицы.
Чтобы убедиться в правильности таких амплитуд, мы должны, как и выше, доказать, что в них распространяются только физические состояния. Это делается точно так же, как в модели Венециано. Проинтегрируем по z в (6.30); тогда для полученного выражения можно показать, что Ln, Gr или Fn, действуя на вычеты, дают нуль. Так же, как в предыдущем случае, коммутируя вершинные операторы, можно доказать свойство циклической симметрии для амплитуды (6.30). Как и прежде, наиболее простой способ доказательства состоит в том, чтобы перейти к амплитуде в форме Коба — Нильсена. Для сектора Неве — Шварца вакуумное среднее в амплитуде (6.30) может быть рассчитано, и результат имеет следующий вид:
П dzi dQi
П & - z/ + Щ)ч'к{'> (6-35>
в таком виде амплитуда впервые была получена Фэйрли и Мартэном [61]. Отсюда легко вывести свойства дуальности.
Как и в случае модели Венециано, можно определить оператор твиста, рассматривая испускание частиц с другого конца струны, а также построить петлевые амплитуды с внешними тахионными состояниями. Чтобы удовлетворить условию унитарности, необходимо включить проекционный оператор [57]. В более современном формализме вводятся духи, после чего одно-петлевые амплитуды вычисляются прямым путем. Подробности можно найти в литературе.
Рассмотренные до сих пор вершины описывают процессы,, в которых струна испускает частицы, при этом статистика ее не меняется. Но если распространяющаяся фермионная струна