- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
13.3.2. Описание спектра
Спектр струны состоит из бесконечного числа состояний, лежащих на линейно растущих "траекториях Редже". Эти траектории дают "спин" состояний в зависимости от квадрата их массы:
/ —а'.М2 + «отсекаемый отрезок». (13.3,2Л)
Первая траектория, для которой отсекаемый на оси ординат отрезок (интерсепт) равен +1, называется "основной траекторией" (рис. 13.1). Остальные траектории называются "дочер-
ними".
Это можно представить себе следующим образом. Вследствие пуанкаре-инвариантности квантовой теории состояния распадаются на неприводимые представления группы Пуанкаре. Состояния характеризуются:
1) массой,
2} представлением малой группы, к которой они принадлежат; соответствующей малой группой является SO(d—1) = = SO(25) для массивных состояний и 50(24) для безмассовых состояний.
Масса задается соотношением
агМ2 = - а'РАРА = N — a0, (13.3.2.2)
где "номер уровня" N определяется выражением
N= Z па*п%п. (13.3.2.3)
п >0
Легко проверить, что N коммутирует со всеми генераторами Пуанкаре. Различные состояния, принадлежащие одному и
Рис. 13.1. Используя четырехмерное представление и понятие "спина", можно показать, что состояния бозонной струны ложатся на линейно растущие
траектории Редже.
Квантование струны Намбу — Гото 187
тому же представлению группы Пуанкаре, имеют одинаковый номер уровня.
Определение "спина" состояния немного более сложно. Поперечными индексами являются, очевидно, векторные SO (24) -индексы. Для безмассовых состояний первого возбужденного уровня N = 1 представление 50(24) определяется непосредственно. В случае массивных состояний оказывается, что различные 50(24) -тензоры объединяются с образованием неприводимого представления 50(25).
Первое состояние является основным состоянием, уничтожаемым всеми осцилляторами:
// = 0, |0), а'М2=-1. (13.3.2.4)
Интерсепт схо равен единице, так что это скалярный тахион, что является недостатком бозонной модели.
Первое возбужденное состояние N — 1 есть безмассовый поперечный вектор (спин 1 — "фотон"):
#=1, а\*\0\ а'Л12=0, 24 состояния. (13.3.2.5)
Так как при jV = 1 мы имеем только 24 состояния (а не 25, как требовалось бы в случае массивной малой группы), фактически мы могли бы догадаться, что эти состояния являются безмассовыми в том случае, когда лоренцева инвариантность реализуется на квантовом уровне. Но если первые возбужденные состояния обладают нулевой массой, основное состояние может быть только тахионом. Отсюда понятно, почему мы нашли, что «о = 1-
Следующие состояния отвечают значению N = 2; мы имеем
М = 2, 4*| 0), а'М2=1, 24 состояния;
а{'а[*|0>, а'М2=\, 300 состояний. (13.3.2.6)
Они объединяются с образованием массивного представления группы Пуанкаре, отвечающего спину 2 (бесследовый симметричный тензор 25X25 = 324 состояния). Следующие состояния при N = 3:
= 2; (13.3.2.7)
; \ \ 0), а'М2=-2.
Соответствующее массивное представление группы Пуанкаре уже не является приводимым. Получаем одно представление со "спином 3" и два со "спином 1": при N = 3 начинаются
188 Глава 13
новые "дочерние" траектории (заметим, что на рис. 13.1 имеются "дыры").
Аналогично производится анализ для высших уровней. Следует упомянуть два пункта. Во-первых, количество состояний экспоненциально растет с увеличением номера N [9]. Во-вторых, состояния полностью определяются не одними осциллятор-ными числами заполнения, но также, конечно, их импульсами р1 и р+. Зная р1 и р+, можно вычислить р-. Результирующая компонента р° может быть как положительной, так и отрицательной, поэтому одновременно присутствуют состояния Х°, движущиеся по времени Минковского вперед (частицы), и состояния, движущиеся вспять (античастицы). Такие состояния обыкновенно идентифицируются для струны без дополнительных квантовых чисел.