- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
12.1.4. Калибровочные симметрии
Действие Намбу — Гото очевидно инвариантно относительно замены координат, поскольку площадь является геометрическим инвариантом.
Инфинитезимальные замены координат приводят к следующим преобразованиям полей:
6Хл = %чХА = д1ахХ, (12.1.4.1)
где 2б£ — производная Ли по направлению двумерного вектора
-6|а. Соотношение (12.1.4.1) отражает тот факт, что ХА являются двумерными скалярами.
При преобразованиях полей Хл по правилу (12.1.4.1) возникает следующая вариация лагранжиана:
а
(12.1.4.2)
является двумерной плотностью). Следовательно, вариация действия сводится к интегралу по границе (линии):
(12.1.4.3)
и, конечно, равна нулю для тех преобразований координат, которые на границе обращаются в нуль.
Квадратичное действие (12.1.2.1) также обладает инвариантностью относительно замены координат, и преобразование метрики 7ссЗ имеет вид
у. (12.1.4.4)
Кроме того, как мы уже видели, квадратичное действие также обладает вейлевской инвариантностью (преобразования <1216))
106 Глава 12
12.1.5. Глобальные симметрии
Струна распространяется в d-мерном пространстве-времени, которое является плоским, поэтому имеется пуанкаре-инвари-антность.
Симметрия по отношению к группе Пуанкаре в данном случае похожа на внутреннюю симметрию (этот тип симметрии характерен для а-моделей), и она связывает преобразованием различные поля, взятые в одной и той же точке ха:
Хв, (12.1.5.1 а)
(выражения (12.1.5.1) не содержат производных).
Используя метод Нётер, получаем d{d-{- l)/2 сохраняющихся токов, удовлетворяющих уравнению непрерывности daja~Q. Это токи, соответствующие трансляциям:
, a
а также токи, отвечающие поворотом и бустам:
Пи, = -На = -^ГхВ]--^г V=£ ^д№Х[АХВ]. (12.1.5.3)
ол, а
Заряды получаются интегрированием
л или 2л
Qa = S Рл<Ь (12.1.5.4)
О
(полный импульс струны) и
л или 2я
Qab= S i°ABdo (12.1.5.5)
О
(угловой момент).
В случае замкнутых струн заряды, очевидно, сохраняются вследствие уравнения непрерывности, так как в системе, в которой нет границ, не может быть ни входящего, ни выходящего потока. В открытых струнах заряды сохраняются только в том случае, если выбрать подходящие граничные условия при а = 0 и а = я, которые запрещают поток через эти границы (см. разд. 12.1.7).
12,1.6. Конформная симметрия
Среди преобразований координат ха^>х а = /а(лг) есть такие„ при которых метрика умножается на локальный фактор. Эти
Струна Намбу — Гото: классический анализ 107
преобразования носят название псевдоконформных преобразований 1):
& являются конформными преобразованиями
t
(12.1.6.1)
Инфинитезимальные конформные преобразования х'а=ха-\- $£" удовлетворяют условию
%tgat = *>g4, (12.1.6.2)
как видно из разложения уравнения (12.1.6.1).
Чтобы проанализировать свойства конформной группы, удобно переписать уравнение (12.1.6.1) в "конформной калибровке", т. е. в системе координат, в которой метрика пропорциональна двумерному тензору Минковского:
(х) — ф2 (х) гц («конформная калибровка») (12.1.6.3)
= V—ff Лае-
Существование таких систем координат хорошо известно из дифференциальной геометрии (см., например, книгу Эйзенхар-та [5] и разд. 12.5, где обсуждается калибровка светового конуса).
Соотношение (12.1.6.3) позволяет записать уравнение (12.1.6.1) в виде
дха дх^ —
Л2() (12.1.6.4)
что в инфинитезимальной форме эквивалентно уравнениям
б|00 = б?'„ 6|°, = 6i'o (12.1.6.5)
(условия псевдо-Коши — Римана).
С этими уравнениями удобнее работать в светоподобных координатах (и, у), в которых квадрат длины записывается как ds2 = —2<j»2dudv. Тогда конформные преобразования U{u,v), V(ut v) являются преобразованиями координат, подчиненными
*) Очевидно, можно принять бескоордииатные обозначения и определить зконформиую группу, но здесь это необязательно, поскольку мы рассматриваем (по крайней мере в этом разделе) многообразия с тривиальной топологией {-^R2) и используем глобальные координаты.
108 Глава 12
условиям
ди ди
dU dV
dv dv
==0, (12.1.6.6)
= 0. (12.1.6.7>
Следовательно, с точностью до перестановочного преобразования U = v, V = u общее двумерное конформное преобразование является прямым произведением двух одномерных координатных преобразований
U = U{u), V = V(v). (12.1.6.8),
Соответственно конформная группа является прямым произведением двух групп одномерных диффеоморфизмов1). Эта структура прямого произведения оказывается явной в светоподоб-ных координатах.
В терминах координат Минковского х°, х1 получаем
(12.1.6.9).
Новые координаты х'° и хп удовлетворяют свободному волновому уравнению.
По многим причинам конформная группа играет важнуку роль в теории струн. Одна из причин заключается в том, что эта группа является остаточной группой диффеоморфизмов в. часто используемой конформной калибровке (12.1.6.3).
Более важным оказывается то свойство, что алгебра компонент тензора энергии-импульса скалярного поля Xх изоморфна конформной алгебре (ее центральное расширение называется алгеброй Вирасоро). Именно это свойство мы сейчас обсудим.
Рассмотрим безмассовое двумерное скалярное поле Х(ха) с обычным действием
i^ ^ . (12.1.6.10)
Очевидно, это выражение инвариантно относительно преобразований координат из конформной группы.
По теореме Нётер эта инвариантность приводит к бесконечному числу сохраняющихся токов, которые имеют вид
= 7"% (12.1.6.11)
где |Р —конформный вектор Киллинга, т. е. решение уравнения (12.1.6.2). Здесь Та$ — компоненты симметричного бесследо-
]) В случае, если одномерное многообразие является окружностью, эта группа обозначается Diff{51).
Струна Намбу—Гото: классический анализ 109
вого тензора энергии-импульса скалярного поля (~b&fbgap> см. выражение (12.1.2.3)):
Т^ = 7^а9 Га0;Р = О, Т\ = 0 (12.1.6.12)
(как мы уже говорили в разд. 12.1.2, бесследовость тензора 7ар является результатом вейлевской инвариантности, а символ ";" обозначает ковариантную производную).
Используя соотношения (12.1.6.12) и условие (12.1.6.2) для конформного вектора Киллинга, действительно можно убедиться, что ток /а(£) сохраняется:
/а(1);а = 0. (12.1.6.13)
Соответствующие заряды определяются выражением
\^, (12.1.6.14)
где интегрирование ведется по пространственной кривой. Из общих соображений следует, что заряды Q(g), выраженные в виде функций в фазовом пространстве от X и сопряженного импульса, удовлетворяют скобкам Пуассона, соответствующим конформной алгебре:
Ю(Ю, Q(ti)] = Q(E. л]). (12.1.6.15)
Здесь [|, т|] — конформный вектор Киллинга, полученный взятием скобок Ли от векторов g и rj:
R, чГ = rftf - l4V (12.1.6.16)
Ниже мы явными вычислениями получим соотношение (12.1.6.15), которое означает просто, что алгебра симметрии реализуется в фазовом пространстве через скобки Пуассона. Чтобы перейти от соотношения (12.1.6.15) к скобкам Пуассона для компонент тензора энергии-импульса, возьмем конкретный вектор 1а. Например, если в момент времени х°~0
векторы |а и ца взять в виде
|
(12.1.6. |
17а) |
= 0 |
(12.1.6. |
176) |
что |
заряды |
сво- |
|°(0, *i) = fi (я1 - а), 140,
(в координатах Минковского), то получим, дятся к
Q(6) = rg(a), Q(r,) = r°o(aO, (12.1.6.18)
и алгебра (12.1.6.15) даст скобки Пуассона [Го((т), Го (сг')]-Чтобы вычислить компоненты скобок Ли (12.1.6.16), нужно проинтегрировать конформные уравнения Киллинга для |а и ца
НО Глава 12
с приведенными выше начальными условиями (12.1.6.17). Это дает
л xi) = ^ [б (л;о + xi _ ff) + 6 {хо _x
, (12.1.6.19)
°, х1) = -L [б (*° + х1 - а) - 6 (*° - х1 + а)].
Аналогичные выражения получаются и для г\а, (Конечно, основной факт здесь заключается в том, что векторы £а, т]а полностью определяются из начальных условий (12.1.6.17) и конформных уравнений Киллинга. Без этого алгебра (12.1.6.15) была бы бессмысленной, поскольку она связывала бы выражение, хорошо определенное на поверхности jc° = O (в левой части алгебры) с выражением, содержащим векторы ga и ца вне поверхности а'° = 0 (в правой части). Этим свойством конформной группы полная группа диффеоморфизмов не обладает.) Скобки Ли векторов £а и ца имеют следующий вид:
[I, т|]°(0, *■) = <>,
В, Л]1 (0, х1) = -fi (х1 - а) 6' (х1 - о') + б (х1 - а') б' (*' - а),
(12.1.6.20)
где штрихом обозначена обычная пространственная производная. Следовательно, скобки Пуассона при совпадающем времени имеют вид
(а), Гоо(а')] = (Г01 (а) + Т01 (а')) б^ (а - </)• (12.1.6.21 а) Аналогично получаем
Foo W. Го! (стО1 = (Уоо (ст) + ^оо И) б' (а - а'), (12.1.6.216)
(а), Гш (а7)] - (Г01 (а) + Г01 (а')) б' (а - а'). (12.1.6.21в)
На этом мы завершаем вычисления алгебры, которой удовлетворяют компоненты тензора энергии-импульса. Это та же самая конформная алгебра, записанная в базисе "векторов-б-функций". (Близкие вопросы обсуждаются в работе Фубини и др. [8], а также в цитируемой там литературе.)
Все рассмотренное здесь для случая безмассового скалярного поля остается справедливым и для струны, описываемой d такими полями. Так как конформная группа является теперь подгруппой общей калибровочной группы теории, ее генераторы должны быть равны нулю. Но остается то важное свойство, что компоненты тензора энергии-импульса и в этом случае удовлетворяют конформной алгебре.
Струна Намбу — Гото: классический анализ Ш
Упражнения
1а. Покажите, что из (12.1.6.4) следуют соотношения
Z — zZ , Z =&Z y 8=1,
для инфинитезимальных конформных преобразоваиий х'а = = 2а(л^). Выведите, что произвольное конформное преобразование является произведением пространственного отражения Z0 — х°, Z1 = —х1 и некоторого преобразования, удовлетворяющего условиям псевдо-Кошн—Римана.
16. Покажите сходство двумерных переменных светового конуса и, v, использованных в псевдоконформной группе, и комплексных переменных z,z — x±:iy, применяемых в евклидовой конформной группе.
2а. Покажите, что условие бесследовости 7аа = 0 в свето-подобных переменных записывается, как Tuv = 0.
26. Покажите, что закон сохранения тензора энергии-импульса означает, что Тии является функцией только v, тогда как Tvv является функцией только и: Тии ~Tua(v)t TVv = Tvv(u).