- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
Глава 6
+
)—(
+•
/
Рис. 6Л. Примеры диаграмм, отвечающих элементам 5-матрицы в теории
лизм. Входящие в выражение (6.1) волновые функции внешних частиц имеют вид exp(ikn-xn), где &«•—импульс п-и внешней частицы. Мы будем использовать представление, в котором хп является с-числом. Рассмотрим теперь операторную волновую функцию exp[ik-x(x)]y где x^(i) = х^ + р^т — решение уравнений движения и [х^, pv] = щ^. Кроме того, введем вакуум (0>, такой, что
pi* | 0> = 0. (6.2)
Отсюда получаем
п\__ fMplk-x(x)\ f)\ (Q 3^
Тогда амплитуду рассеяния, соответствующую диаграмме первого типа на рис. 6.1, естественно считать корреляционной функцией:
AN - A,"-* J Д dxt (0 | exp [ikx • х (тО] X
X exp [ik2 • х (т2)] ... exp [ikN • х (iN)] \ 0). (6.4)
Используя формулу Бейкера — Хаусдорфа, получаем (полагая, что k2 = 0)
= ехр {j_ xp2^ eik-x exp ^ _ L.
Поскольку т мы считаем временной переменной, принимающей вещественные значения от —оо до +оо, мы видим, что экспоненты в соотношении (6.5) плохо определены. Это типичная ситуация в релятивистской квантовой теории. Поэтому необходимо получить аналитическое продолжение к мнимому времени (виковский поворот), провести все вычисления и вернуться обратно; это даст в конечном счете правильную структуру полюсов. После перехода к мнимому времени мы должны также считать р° мнимым числом, и в окончательном выражении мы
Операторный формализм ЬТ
вернем р° к вещественному значению обратным виковским поворотом. Следовательно, мы проводим замену t-Wt. Можно ввести новые переменные:
ехр(—т£) = 2,, dxi = — dzi/zu (6.6)*
где Zi принадлежит действительной оси. Так как нас интересуют элементы 5-матрицы, то будем считать, что начальное состояние, в котором находится первая частица, соответствует времени —оо, а конечное состояние с N-й частицей соответствует времени -f-oo. Поэтому мы получаем
После этого Z\ и zN выпадают из выражения (6.4). Остальные переменные zi должны быть упорядочены, и мы можем выбрать такой масштаб для zi, чтобы г2 = 1. Теперь естественно провести замену переменных yi — Zi[Zi_x и проинтегрировать по г/з, ..., tjN-\ в пределах от 0 до 1. В результате получаем выражение
2
в котором нетрудно узнать типичный элемент S-матрицы. Если мы теперь вернем р° обратно виковским поворотом, то получим полюсы с правильным фейнмановским предписанием. Мы могли бы провести вычисления с вещественными т/; для этого нужно было вставить затухающие множители в выражение (6.5), тогда амплитуда (6.4) была бы хорошо определена. Такая процедура также привела бы к амплитуде (6.7) с фейнмановским правилом обхода полюсов. На практике мы будем работать с z-переменными и считать р° вещественным, но будем помнить, что полюсы нужно обходить по правилу Фейнмана.
Из выражения (6.7) легко получить диаграммные правила Фейнмана. В принципе мы можем также построить вершинные операторы и для чисто внутренних вершин, например для таких вершин, как изображенная на второй диаграмме рис. 6.1. Но в теории точечных частиц амплитуды для таких диаграмм проще получить, используя свойство унитарности и диаграммные правила Фейнмана, вытекающие из выражения (6.7).
Заметим, что на самом деле мы не выводили операторный формализм. В действительности мы можем установить однозначное соответствие между операторным формализмом и формализмом интеграла по траекториям и в этом смысле вывести его, если, конечно, считать, что последний формализм является-более фундаментальным [51].
.58 Глава 6
Рис. 6.2. Амплитуды излучения частиц струной,
В теориях, описывающих точечные частицы, наиболее мощным вычислительным средством оказалась квантовая теория поля, в рамках которой не только определяется правильное разложение по теории возмущений, но также исследуются различные непертурбативные аспекты. Когда мы хотим рассматривать струнные теории, которые являются более сложными, чем теории точечных частиц, оказывается нежелательным следовать слишком совершенным и потому технически достаточно сложным методам теории. Например, существует детально разработанная техника континуального интеграла, в рамках которой хорошо определяется разложение по теории возмущений. Мы не будем здесь останавливаться на этом, и читатель может найти подробное изложение этих вопросов в работе Манделстама [52]. Вместо этого остальная часть данной главы посвящена операторному формализму.
Одним из основных моментов операторного формализма в теории точечных частиц было предположение, согласно которому происходят только трехчастичные взаимодействия. Что касается струн, то в этом случае еще более естественно принять предположение, что струна распадается на две струны. (Попробуйте разрезать кусок веревки сразу на три части.) Рассмотрим вначале бозонные струны. Так как мы хотим получить 5-матрицу, то нас интересуют амплитуды, в которых струны излучают определенные состояния. Для простоты начнем с амплитуды рассеяния N тахионов (рис. 6.2). Тахион представляет собой точечную частицу, особое состояние открытой струны. Чтобы не нарушить принцип локальности, мы должны предположить, что он излучается с одного из концов струны. Тогда естественное обобщение вершинного оператора теории точечных частиц на случай струн имеет вид [53]
Операторный формализм
где х*— то же, что в выражении (2.25), а нормальное упорядочение введено, чтобы имело смысл усреднение по вакууму.. Чтобы установить соответствие с обозначениями модели Вене-циано, введем
х = - / In z, Q* (г) ^=x*{o = 0, т). (6.9)
Процедура нормального упорядочения в выражении (6.8), дает
V п=1
Основываясь на аналогии с теорией взаимодействующих точечных частиц, предположим, что амплитуда в теории струа имеет следующий вид:
Здесь точки действительной оси Zi упорядочены таким образом, что zi >> Zi+\. Будем считать, что амплитуда (6Л1) соответствует процессу, в котором частица 1 взаимодействует с частицей 2, и образовавшаяся частица затем последовательно излучает все остальные частицы. Выражение (6.11) будет правильной амплитудой в том случае, если оно содержит полюсы в промежуточных каналах и частицы, взаимодействующие в вычетах этих полюсов, совпадают с физическими состояниями струны, т. е.
Lnl промежуточное состояние) = 0, (6.12)
(Lo — 1) | промежуточное состояние) = 0, (6.13)
Заметим, что мы не выводили амплитуду (6.11), а всего лишь взяли правдоподобное выражение.
Для дальнейшего исследования амплитуды вычислим среднее по вакууму в выражении (6.II). Это можно проделать двумя путями: либо прокоммутировать все операторы уничтожения с операторами рождения и расположить их правее всех операторов рождения, используя формулу Бейкера — Хаусдор-фа, либо использовать методы операторного разложения. В результате получим
N
П(Zt ~