15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона

15.2.1. Фоковское пространство духов

Главное отличие от модели Неве — Шварца состоит в том, что теперь коммутирующие духи, ассоциированные с фермионными связями F_n, несут целочисленные индексы и содержат нулевую моду. Имеем

,-*'• (15.2.1.2)

Можно определить фоковское пространство для ненулевых мод q_n, л_п (п ф 0):

9„|0> = я_п|0> = 0 (rt>0). (15.2.1.3)

Псевдогильбертово пространство коммутирующих духов полу­чается путем образования прямого произведения этого фоков-ского пространства и пространства, соответствующего нулевой моде q°. Практически это пространство реализуется обычным способом как пространство функций от q°:

f(q<>), (15.2.1.4a)

<f, q) = \ йфГ (<?°) Я (§% (15.2.1.46)

q" : умножение на q°, (15.2.1.4в)

- (15.2.1.4г)

Фермионная струна: квантовый анализ 225

15.2.2. Брст-оператор

Нормально упорядоченный БРСТ-оператор задается выраже­нием

+ ОО

F_nq__n-

а m,

/n>0

n>0 0<m<n

т>0 0<«<т

- 2

n>0 v—\

— 2

_{_ JL V ( * Z. * \ _j_ _L}

2, ' ' \ ti ti n tij и j,

(15.2.2.1)

Это выражение отличается от БРСТ-оператора Неве — Шварца наличием нулевых мод q° и к₀.

15.2.3. Критическая размерность

Значения критической размерности и интерсепта снова следуют из требования нильпотентности Q на квантовом уровне. В об­щем случае нильпотентность Q нарушается вследствие наличия членов трех типов.

1. Члены, пропорциональные ао. Они (в Q²) определяются выражением

2а₀ Е q'_nq_n + а_о(_?»)². (15.2.3.1)

л>0

226 Глава 15

2. Члены, пропорциональные центральному заряду, и, сле­довательно, размерности пространства-времени. Они имеют вид

n>0 n>0

3. Вклады, возникающие вследствие переупорядочения би-квадратичных духовых членов. Они (в (Q^B)²) даются выраже­нием

5~ / «tin +-£- / ^Л_ИЛ„- (15.2.3.3)

п>0 л>0

В перекрестных членах Q^BQ^ + Q^FQ^B они равны нулю (здесь qf — "фермионная часть" Q, явно задаваемая выражением (15.2.2.1)).

Для иллюстрации вычислений мы выпишем сейчас неисче-зающие члены в (Q^F)².

"Аномальные" члены возникают из антикоммутаторов, ана­логичных выражению (13.2.4.2), возможно содержащих нуле­вые моды. Первый такой аномальный антикоммутатор возни­кает из [ф, ®] и равен (в (Q^F)² = 1/2 [Q^F, Q^F])

m. n>0 0<k <m 0<t<n

/n>0

= НУ— 2L f м^ — ^ЯтЧт* (15.2.3.4)

;n>0

где НУ — неаномальное (нормально упорядоченное) выраже­ние. Следующий аномальный член [(D, ф] имеет вид

2/

т,

= НУ-^^т(т-\)д'_тд_п. (15.2.3.5)

т>0

Легко проверить, что в [ф, ©] и [ф, @] аномальные члены не входят, поэтому остается рассмотреть, кроме вклада нулевых

Фермнонная струна: квантовый анализ мод, рассматриваемого отдельно, член [Э, ®], который дает

227

_f

0</<n

>0

0 < k < m

_(*+f)

(15.2.3.6)

tn>0

Рассмотрим теперь нульмодовые аномальные члены, кото­рые возникают в [(7), (§)], [(9), ®] и [®, ®]:

2t

_{= ну - 2}

(15.2.3.7)

П>0

(15.2.3.8)

^т/г

= НУ

3

(15.2.3.9)

Комбинируя соотношения (15.2.3.1) — (15.2.3.8), получаем

п>0

^Q2 = Е [я⁹ (т - т) + Ч«] лХ +

_{ад + ао<^2- (I5-2-3-10)}

Условие Q² = 0 дает

(15.2.3.11а)

как в модели Неве — Шварца, но

Теперь интерсепт равен нулю, и тахион не возникает.

(15.2.3.116)

228 Глава 15