14.2.4. Генераторы Пуанкаре

Переменные Х^А и rf являются лоренцевыми векторами, по­этому можно непосредственно записать лоренцевы генераторы:

Л или 2я к или 2я

^~ \ {9>_AX_B-<?_BX_A)do--±r \ £г_Л;Г^а.

⁰ ° ⁱ (14.2.4.1)

Легко проверить, что скобки [Гл^а) Мвс] дают правильный за­кон преобразования для Tai{g). Кроме того, генераторы транс­ляций не изменяются:

л или 2я

р_Л== J $>A(e)do_t (14.2.4.2)

о

поскольку при пространственно-временных трансляциях меня­ются только Х^А (a) (brf = О).

Фермионная струна: классический анализ 213

14.3. Фурье-моды (открытая струна)

14.3Л. Фурье-разложение полей

Бозонные поля удовлетворяют тем же граничным условиям, что и в бозонной модели. Следовательно, фурье-разложения для них остаются теми же.

Фурье-разложение фермионного поля Т^л(а) зависит от того, является ли Г⁴ (а) периодичным или антипериодичным.

14.3.1а. Модель Рамона

Функция Т^А(а) периодична, и мы принимаем, что

Г^л(сг) = £ Гтехр — ima, m = О, ±1, ±2, . . . . (14.3.1.1)

m

Поле I^м (а) вещественно, поэтому

Г£ = г1_т. (14.3.1.2)

Отсюда следует, что нулевая мода является самосопряженной. Кроме того, скобки Пуассона имеют вид

[Гт, Г*'] = - 2it\^ABb_m, -т>. (14.3.1.3)

14.3.16. Модель Неве — Шварца

Функция Г^л(сг) теперь антипериодична, поэтому фурье-разложе-ние содержит только полуцелые моды:

^А f-isG, s = ± 1/2, =4= 3/2, .. . . (14.3.1.4)

S

Оно не включает нулевую моду.

Легко получить соотношения для скобок Пуассона

_{[Ь?, бЛ^-'УХ-s> (14.3.1.5)}

14.3.2. Супергенераторы Вирасоро Определим

^\ⁱⁿ°⁺ (14.3.2.1)

— П

= L=- [ dae^i8a9»(a) (Неве - Шварц), (14.3.2.2)

* -я

214 Глава 14

F_n = _4я ' $ dae¹™?^) (Рамон). (14.3.2.3)

+л

—я

_vr"

В терминах фурье-мод супергенераторы Вирасоро L_n, G_r и F_n задаются выражениями

rt-l/2

s>0

(14.3.2.4a) (14.3.2.46)

(14.3.2.4b)

0<n<r

л/пЬп+гпап (r>0), (14.3.2.5a)

^G-_r = ^G*r (14.3.2.56)

для модели Неве — Шварца и выражениями

_{и = ^}

Т Е ^^г«-&Г^+|«ГоГл,г (л>0), (14.3.2.6а)

fe<n

L__n = L'_n, (14.3.2.66)

(14.3.2.6b)

О), (14.3.2.7a)

k>0 J

= F_n, (14.3.2.76)

f— | у i*V* Л. fj Д С / уш*Д.Ь1Л,Д_Ь11, f И- . . J. ж и | ( 1 4.О.^_< / В)

^V \ fe>0 fc>0

для модели Рамона.

Супергенераторы Вирасоро замыкаются классически в соот­ветствии со следующей (градуированной) алгеброй скобок Пу-

Фермионная струна: классический анализ 215

ассона:

[G_rt G_s]=-2iL_r+s, (14.3.2.8a)

[L_m, G_r] = i (r - m/2) G_m+n (14.3.2.86)

[F_m, F_n] = ~2iL_m+n, (14.3.2.8b)

[L_m, F_n) = i(n- m/2) F_m+n, (14.3.2.8r>

[L_m, L_n] = i(n- m) L_m+n. (14.3.2.8д)

Напомним, что во всех приведенных выше уравнениях индексы г и 5 принимают полуцелые значения, а индексы т, п и k — целые значения.

14.3.3. Генераторы Пуанкаре

В терминах фурье-мод генераторы Пуанкаре принимают вид

= р^А, (14.3.3.1)

>

(14.3.3.2а)

где

^{[АВ =} Т Е (^b**^b* ~ ^b**^b*} ^(Невё ~ ^ШваРц)> (Н.3.3.26)

s >0 ИЛИ

Г^АВ = 4" Е ^(Г^*^Г" ~ ^Г»*^Г") + Т ^Г°^ЛГ°^В (Рамон). (14.3.3.2в>

Заметим, что последний член в выражении (14.3.3.2в) антисим­метричен поЛиБ,как и должно быть, поскольку Го Го =— Го Го .