- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
16.1.3. Локальная суперсимметрия
Лагранжиан Li + L2 при а = ±1А(яа/)-1 обладает замечательными свойствами. Он не только инвариантен при двумерных преобразованиях координат, но также обладает локальной симметрией нового типа [56]. Эта симметрия связана с произвольными функциями, являющимися одновременно d-мерными спинорами и 2-мерными векторами.
Для ее описания удобно ввести проекционные операторы
которые проектируют двумерный вектор vk на его изотропные компоненты t>^_:
(16.1.3.2)
Суперструна 245
где знаки ± относятся к двум измерениям. Операторы P±[ii
удовлетворяют соотношениям
^ (16.1.3.3а)
-v, (16.1.3.36)
~^P% = 0, (16.1.3.Зв)
^ (16.1.3.3г)
и не столь очевидному тождеству
Р%Р% = P5:PPi°. (16.1.3.4)
Если; двумерный вектор удовлетворяет условию иЛ—о^_, то
он касателен к одному из изотропных направлений ').
Локальные преобразования суперсимметрии, относительно которых действие инвариантно, имеют следующий явный вид:
(16.1.3.5а) ^А^ (16.1.3.56)
= i (§ V^1 + §V^e2), (16. 1.3.5b)
= -16 У^ (Р^код^ + р>Г^аРе2),
(16.1.3.5г)
где х1 и я2 — инфинитезимальные параметры2). Как отмечалось выше, эти параметры представляют собой двумерные векторы и чисто мнимые десятимерные спиноры с киральностью, противоположной той, которую имеют 81 или G2 (так что 6KGa имеет ту же киральность, что и 8а).
Из системы (16.1.3.5) можно видеть, что в законы преобразования входят только спроецированные компоненты %{^ и х2^.
Кроме того, поскольку двумерные изотропные компоненты со^ определяют десятимерные изотропные векторы
= 0 (16.1.3.6)
л ft
1) Если k n n — два ненулевых изотропных вектора, удовлетворяющих условиям kr = k+ и п ■=■ п_ (=4- k k^ = п п^ = 0 и k п^ Ф 0 обычно норми -
руется на минус единицу), то легко видеть, что v^ = v\-\-v^_, v^_ = v+k и v_ — v_n , где v+ и v_ — компоненты с в изотропной системе отсчета
2) Нет нужды выписывать вариацию g^ , поскольку в действие входит только унимодулярная комбинация V— §" g"^11-
246 Глава 16
в результате полевых уравнений для метрики (см. следующий раздел), матрицы а>^уА необратимы (они нильпотентны). Таким образом, в соотношениях (16.1.3.5а) — (16.1.3.5в) содержится дополнительное проецирование пространственно-временных спиноров %1} и %2£ на одну из их изотропных спинорных компонент. Поэтому количество действительных калибровочных параметров в этих соотношениях равно 2X8=16 (8—количество компонент изотропного кирального спинора). Это верно также для преобразования (16.3.3.5г), если принять во внимание спинорные уравнения движения.
Для проверки инвариантности действия S\ + S2 (в котором а = 1/2(па/)~1)— объекта преобразований (16.1.3.5), заметим, что если вариация ЬКХА связана с 6КВ: и 6ИВ2 посредством уравнения (36.1.3.5b), to вариация действия дается выражением
б (V-
9?
-Ш \
ik
jjj \ ^ 682, (16.1.3.7)
где мы проинтегрировали по частям, чтобы исключить производные от S81 и 682 (заметим, что они сокращаются в £)
Если теперь к членам д^удд^1 и дя92улдй62 применить преобразование Фирца с помощью тождества (16.1.2.5), то в результате получим
1 Г / / 1 л
4яа' J ^ S ё ) х А\х
% Г / /„1*я1 д,л! , л,ля2 А$}ъАш (16.1.3.8)
яа
Дальнейшее использование уравнений (16.1.3.5) и (16.1.3.4) приводит к искомому результату 65 = 0.
Поскольку параметры калибровочных преобразований анти-коммутируют, данные преобразования можно называть "локаль-
Суперструна 247
ными суперсимметриями". Следует, однако, помнить, что эти параметры являются двумерными векторами. Новые калибровочные преобразования не вполне поняты (об этом подробнее см. ниже), неясно также их отношение к двумерной супергравитации1). Это является, вероятно, одной из причин того, что ковариантное квантование суперструны до сих пор не проведено до конца.
Добавочная калибровочная инвариантность дает достаточно -свободы для фиксации калибровки, в которой теория может быть полностью разрешена как на классическом, так и на квантовом уровне. Без этой калибровочной инвариантности о квантовой теории, по-видимому, ничего нельзя сказать, так что мы отвергаем случаи а ф —]/2па/2) из соображений простоты.
Таким образом, окончательно ковариантное действие суперструны имеет вид
(16.1.3.9) Это действие найдено Грином и Шварцем [56].