15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны

Применение БРСТ-методов к замкнутой струне проводится не­посредственно. Замкнутая струна в действительности есть пря­мое произведение левобегущего и правобегущего секторов, каж­дый из которых изоморфен либо (открытой) модели Неве — Шварца, либо модели Рамона.

В соответствии с этим оказывается, что БРСТ-генератор нильпотентен только в десяти измерениях. Кроме того, интер­септ равен либо 1 (лево- и правобегущие секторы изоморфны модели Неве —Шварца), либо 1/2 (левый—модель Неве — Шварца, правый—модель Района), либо нулю (левый и пра­вый — модель Рамона).

15.3. Квантование модели Неве— Шварца в калибровке светового конуса

15.3.1. Пуанкаре-инвариантность

При квантовании в калибровке светового конуса нетривиаль­ный вопрос состоит в том, является ли квантовая алгебра Пу­анкаре свободной от аномалий.

К трудностям приводит лоренцев генератор Af'~, не являю­щийся больше квадратичным по осцилляторным переменным. При применении тех же методов, что и в случае бозонной стру­ны, М⁽~ определяется выражением

т#) (15.3.1.1)

В этом выражении величина G{.^r отличается от ковариантной

величины G_r суммированием только по поперечным степеням свободы. Другие генераторы здесь не приводятся, поскольку в явном виде они не нужны.

Алгебра Пуанкаре выполняется тривиально, если не считать коммутатора [М¹~, М^}'~], который в общем случае оказывается не равным нулю. Длинные, но непосредственные вычисления показывают, что [Л1'~, М*-] содержит не только член с ао» но также аномальные вклады, возникающие при нормальном упо­рядочении величины Lo[Xo_t £ a*_nL_n -f L__rea_n] и коммутаторов кубичных членов. Квантовомеханический коммутатор [М*~, М^!~]

Фермиоииая струна: квантовый анализ 231

имеет следующий явный вид:

п>0

_ 1

[bY b{ — bV ti) (15.3.1.2)

и обращается в нуль только в том случае, если

tf=10, Oo=l/2. (15.3.1.3)

Эти критические значения совпадают с теми, которые найдены БРСТ-методами.

15.3.2. Спектр Неве — Шварца

Рассмотрение спектра Неве—-Шварца следует соответствую­щей схеме для бозонной модели. Состояния данного массового уровня принадлежат представлению малой группы, которой яв­ляется группа 50(8) для безмассовых состояний и группа 50(9) для массивных состояний. В последнем случае различ­ные определенные представления группы 50(8) объединяются с образованием представления группы 50(9).

Так как ао = 1/2, основное состояние есть тахион с квадра­том массы, равным —(2а⁷) ~¹:

=—1/2. (15.3.2.1)

Масса произвольного состояния определяется выражением

а'М²= £ najam + £ sb\^lb₈t — а_о = N -~. (15.3.2.2)

rc>0 s>0

Осцилляторы Ь* увеличивают массу на полуцелые числа, а осцилляторы а* — на целые числа. Состояния с нечетным ко­личеством осцилляторов 6* соответственно имеют целые массы. Говорят, что они имеют G-четность, равную +1, где оператор G определяется выражением

G-= (—)(£*J4i-0. (15.3.2.3)

Состояния с четным количеством осцилляторов Ь* имеют полу­целую массу и G-четность, равную —1. Основное состояние (та­хион) имеет G = —1.

232 Глава 15

Следующие возбужденные состояния являются безмассовы­ми SO (8) -векторами:

ТЛ10>, a^fM² = 0, G = l, 8 состояний (спин 1). (15.3.2.4)

Они также должны быть безмассовыми, чтобы образовывать представление группы Пуанкаре (в противном случае количе­ство состояний было бы недостаточным). На следующем уровне с G = —1 имеем

mbVn — М/2Ы/2) I 0), a'M²=l/2, G = —1, 28 состояний,

(15.3.2.5) , а'ЛГ²=1/2, G-— 1, 8 состояний.

Затем идут массивные состояния с а'М²= 1:

b\J2b\l₂bm\ 0), о!М²=- 1, G = 1, 56 состояний, #/₂аГ|0>, a'M²—!, G=l, 64 состояния, (15.3.2.6) h ² = *> G = 1, ⁸ состояний

и т. д. Все состояния в спектре имеют целый спин.

Напомним, наконец, что состояния характеризуются также компонентами их ^-импульса р+, р¹ (они определяют р~)> хотя мы и не выписывали эту зависимость в соотношениях (15.3.2.1) —(15.3.2.6) ^]).