13.1.3. Алгебра Вирасоро

Наша стратегия построения квантовой алгебры операторов Ви­расоро состоит в следующем. Единственной причиной, по ко­торой квантовая алгебра отличается от своего классического аналога, умноженного на ih, является наличие в выра­жении [L_m, L_n] — (tn — n)L_m+n членов, которые сокращают друг друга на классическом уровне, но не делают этого в квантовомеханическом случае вследствие различного упорядо­чения.

Далее, оператор L_m+n квадратичен по основным переменным и приведен к нормальному виду в соответствии с нашим выбо­ром пространства Фока. Поэтому квантовые эффекты могут проявиться только в том случае, когда коммутатор [L_m,L_n], тоже квадратичный по основным переменным, не является нор­мально упорядоченным. Это означает, что центральный заряд равен члену, возникающему при нормальном упорядочении

Поскольку мы знаем классический вид коммутатора, иам нужно просто найти "аномальный" член. Более того, мы ожи­даем— это легко проверять — появления ненулевого централь­ного заряда только тогда, когда L_m+n = Lq, т. е. п = —т, по­скольку неоднозначность упорядочения проявляется только в операторе L_o.

Следовательно, мы вычисляем [L_m, L-_m] при т > 0:

[L<_m, L, __т\

= ^{НУ +} Т S (m~k)k{m-s)s (a_k • a⁹_sb_{kt s} + a_k- aⁿ_m_fi_m__{kt s}),

(13.1.3.1)

где НУ—нормально упорядоченное выражение, точный вид ко­торого нас здесь не интересует, поскольку оно не используется при вычислении центрального заряда.

Заметим, что второй член в правой части выражения (13.1.3.1), хотя и не приведен к нормальному виду, тем не ме­нее хорошо определен в пространстве Фока, поскольку сумма содержит лишь конечное число слагаемых. (Важно проводить вычисления таким образом, чтобы появляющиеся на любом этапе выражения были хорошо определены в выбранном про­странстве представления. Это гарантируется использованием нормального упорядочения. Если бы мы выбрали другое про­странство представления, например соответствующее "антинор­мальному упорядочению", то вычисления проводились бы по-другому и мы получили бы другой центральный заряд.)

156 Глава 13

Нормальное упорядочение уравнения (13.1.3.1) сразу дает

[L_m, /-„] = НУ + 4" К - ^т) (13.1.3.2)

d ИГ

(мы использовали тождество 6 Х_А=1 (т — k) k — m (m — 1) (m-j-1) d появляется из следа г]^ при суммировании по всем осцилля­торам).

Итог этих вычислений состоит в том, что квантовая алгебра Вирасоро действительно приобретает аномальный ^-числовой член, пропорциональный размерности пространства-времени:

[L_mt 1_№]^(т~п)Ь_т+п^^-(т³~т)д_т^_п. (13.1.3.3)

Упражнения

1. Вычислите центральный заряд в (простом) представле­ нии, ассоциированном с антинормальным упорядочением. Пока­ жите, что хотя величины L_n и не меняются (пфО), получается противоположное значение (—d/\2) (m³— т)6_т,~_п-

2. Можно ли устранить центральный заряд в уравнении (13.1.3.3) путем переопределения величин L_m: L_m->-L_m-\- a_m, где а_т — постоянные?

3. Докажите, что выражение для центрального заряда, за­ даваемое уравнением (13.1.3.3), является наиболее общим (с точностью до тривиального переопределения L_m-^ L_m + a_m)-

Указания, а. Покажите, что путем выбора а_т в выражении [L_m,L_n]=(m — n)L_m+n + k_mn (при k_mn = — k_nm) можно полу­чить ko_m = Q; при этом величина а₀ остается неопределенной.

б. Запишите ограничения на k_mn, следующие из тождества Якоби.

в. Положите один индекс в тождестве Якоби равным нулю и выведите отсюда, что k_mn =0 при п Ф—т (с учетом того, что кш = 0), т. е. k_mn = k (т) 6_т, -п (т > 0).

г. Покажите, что k(m) удовлетворяет соотношению

(п — т) k (т + п) + (2л + m)k (т) — (2т + п) k (п) = 0. Выберите ао так, чтобы &(1) = 0. Получите искомое значение