- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
Алгебра Вирасоро
[Lm, Ln] = (m — n)Lm+n-\-^(m3~m)6mt_nf (13.1.5.1)
которая, как мы видели, непосредственно связана с конформной симметрией, в последнее время нашла много приложений не только в теории струн, но также в статистической механике [21]. Поэтому исследование ее представлений вызвало значительный интерес [22].
Существуют и другие бесконечномерные алгебры, имеющие физические приложения. Среди них алгебры Каца — Муди [23] также играют роль в моделях струн. Они определяются следующим образом. Рассмотрим конечномерную алгебру Ли G со структурными константами Саьс и (матричными) генераторами Та. Генераторы Мат ассоциированной аффинной алгебры Каца — Муди удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Мату МЬп] = СсаЬМст+п + стбт} _ngab, (13.1.5.2)
где gab — тензорный инвариант присоединенного представления, т и п-—положительные и отрицательные целые числа.
Алгебры Каца — Муди с нулевым центральным зарядом с = 0 легко построить следующим образом. Рассмотрим матрицы Mam = TaeimB. Они удовлетворяют соотношениям
(13.1.5.3)
определяющим алгебру, которая называется алгеброй петель, поскольку последняя ассоциируется с отображениями окружности
162 Глава 13
в алгебру Ли G: когда 6 пробегает значения от 0 до 2л, Мат описывает петлю в G.
Мы уже сталкивались с алгеброй Каца — Муди, когда рассматривали трансляционные токи \аА. Действительно, изотропные компоненты jaA, определяемые как jA = j°a zh jla, равны 1)
(13.1.5.4)
где знаки ± относятся не к координатам светового конуса фонового пространства-времени, а к изотропным направлениям вдоль струны.
Непосредственное вычисление дает
(13.1.5.5а) (13.1.5.56) (13.1.5.5b)
В случае открытой струны2) определяется величина
(13.1.5.6)
/л и ее фурье-разложение
Х (13.1.5.7)
Из уравнений (13.1.5.5) следует
[«Лт, «ЯJ = МЧАВ?*™, -». (13.1.5.8)
Величины а — фурье-компоненты токов-—образуют (при коммутировании) замкнутую алгебру Каца — Муди с нетривиальным центральным зарядом, основанную на группе трансляций. Величины алп можно связать с осцилляторными переменными посредством соотношений
«ло = — V2&' Ра,
(я > 0). (13.1.5.9)
1) Для упрощения последующих выкладок мы ввели в выражение {13.1.5.4) подходящие нормирующие множители.
2) Наша общая тактика на последующих страницах снова будет заклю чаться в рассмотрении открытой струны с последующими краткими замеча ниями об особенностях замкнутой струны в тех случаях, когда это необ ходимо.
Квантование струны Намбу — Гото 163
Они отличаются от величин алп в упражнении 2 в разд. 12.4.1
простым множителем y2of.
Существует тесная связь между алгеброй Вирасоро компонент энергии-импульса и алгеброй Каца— Муди (13.1.5.8) трансляционных токов. Это объясняется принадлежностью теорий к "типу Сугавары" с тензором энергии-импульса, квадратичным по токам [24].
Действительно, из уравнений (12.3.2.1) и (13.3.2.5) находим
„ = я J :jA(o)jA(o):etnado, (13.1.5.10)
— л
где символ : : обозначает нормальное упорядочение. Разложение (13.1.5.7) позволяет представить выражение (13.1.5.10) в виде
1п = тТ,'-аАп-,п<- (13.1.5.11)
т
(в соответствии с упражнением 2 в разд. 12.4.1)
Упражнения
Исследуйте алгебру лоренцевых токов.
Исследуйте алгебру величин Ln вместе с ат.