14.2.2. Граничные условия

Мы примем, что бозонные переменные Х^А(а), Л(сг), N(<j) к N¹(g) удовлетворяют тем же граничным условиям, что и ранее.

Мы хотим определить поведение Г/ (а) на концах струны.

14.2.2а. Открытая струна

Граничные условия для Tf (а) должны быть такими, чтобы ЫЖа'в, \ N^l3@ido и \ М9> da были хорошо о Jo Jo

определены как генераторы, т. е. не порождали бы при вариа­циях "поверхностных членов" при (т = 0, л.

ⁱ) Отметим, что в каноническом формализме Г^л(а) входит с множителем

«11 ^кан— #11

210 Глава 14

/•я

Вычислим б\ ЫЖйо. Получается граничный член j о

N (Г_м &Г? - Т₂л 6Г^Л) |о. (14.2.2.1)

Чтобы уничтожить этот член, можно было бы положить r_iA(cr)=^O на концах. Но это условие является слишком силь­ным. Действительно, можно показать, что для того, чтобы под­держать (во времени) условия Гм(в конечных точках) =0, должны обращаться в нуль на концах все производные от Г/.₄ (использование уравнений движения для Г). Следовательно, нужно сделать что-то другое.

Поскольку N(0) и N (я) независимы, единственная возмож-

Л А

ность состоит в том, чтобы связать Fi и Г 2 на границах. Рас­сматривались два различных варианта:

Г^л (0) = Г₂^Л (0), Г?(л) = г£(я) (Рамон), (14.2.2.2) и

Г? (0) = Г₂^Л (0), Г? (я) = - Г^л (я) (Неве - Шварц). (14.2.2.3)

(Легко проверить, что играет роль лишь относительный знак при 0, я.) Первый выбор соответствует модели Рамона, вто­рой — модели Неве — Шварца.

При наложении условий (14.2.2.2) граничный член (14.2.2.1) обращается в нуль. Кроме того, не возникает проблем с гене-

ратором V ]\[¹Ж₁йа, поскольку N¹ обращается в нуль на кон-

*J О

_{гл —}

цах струны. Наконец, из 6\ М^do видно, что параметр супер-

j о

калибровки должен быть ограничен в соответствии с условиями

М¹ = М² при а = 0,

или Л^¹ = -М²(НШ) при а = я.

Можно снова суммировать условия (14.2.2.2) и (14.2.2.3) путем расширения интервала [0, л] до [—л, л]. Определим

f Tf(a), 1 Г₂^Л(-

0<а<л,

(14.2.2.5) -л<а<0.

Поскольку Г^л(0) = Г^л(0), величина Г^л(ст) непрерывна при а—0. (В действительности из сохранения во времени граничных усло­вий за счет уравнений движения следует rf (0) —(— l)^rt Г2^{1 (/I}* (0) для всех п_л так что все производные сшиваются.) Видно далее, что величина Т^А(а), определяемая условиями (14.2.2.5), в слу­чае граничных условий Рамона периодична с периодом 2я.

Фермиониая струна: классический анализ 211

Б случае граничных условий Неве — Шварца Г^А (о) антиперио-дична (Г^л(0 + 2л) = —Г⁴(а)). Если функции

Q⁺ (а) = р² _]_ 1 iY^A -^- , - л < а < я, (14.2.2.6а) др (а) -= I^м (а) Р_А (а), — л < а < л, (14.2.2.66)

ввести на всем интервале [—я,+я;],то условия Q^f (a) =Q-(cr)— = 0 = ^-((т) на интервале [0, я] можно заменить условиями

т, (14.2.2.7)

на интервале [—я,+я].

14.2.26. Замкнутая струна

Анализ для случая открытой струны показывает, что следует рассматривать как периодические, так и антипериодические

функции Г? (сг). Такой подход приводит к следующим трем возможностям [38,50]:

_{rf (а = 0) = rf (а = 2л), 1}

_{„a, J «д! . ; Г (Н.2.2.8а)}

Т(<т--=2я), 1 а = 2л); j

_{= 0) = — f (а „ ,}

_{А А} } (14.2.2.86)

Г₂^Л (а = 0) = Tf (а - * '

_Л л , (14.2.2.8в)

Г2 (а = 0) = — П? (а = ^Л '

Суперкалибровочные параметры ej(a) и ег(а) должны быть ограничены аналогичным образом. При выполнении этих усло­вий гамильтониан является согласованным генератором ("кон­цевые члены" при a = 0 и 2л исчезают).

14.2.3, Суперкалибровочные преобразования — калибровочные условия светового конуса

Связи £⁷(а) = 0 генерируют локальные преобразования су­персимметрии, или, как они еще называются, "суперкалибро-

212 Глава 14

вочные" преобразования. Эти преобразования имеют вид

(а⁷) Р_в (</) с(а'] = 4Л/8¹ (а) Р^А (а),

(14.2.3.1)

г (а) = 4ше² (а) Я^л (а), (14.2.3.2)

6Х^А (а) = л л/2аУ (а) Г^ (а), (14.2.3.3)

6Я_Л (а) = 2л (- е¹!^ + е²Г_л2)'. (14.2.3.4)

Световая калибровка определяется как и ранее условиями Х⁺ — р+т, ^⁾+^/ = 0. Нужно фиксировать также суперкалибров­ку, для которой в качестве калибровочных условий выбирают

Г^ (а) = 0. (14.2.3.5)

В уравнении (14.2.3.5) содержится столько условий, сколько имеется суперкалибровочных параметров. Кроме того, посколь­ку Г* =0, нельзя более производить суперкалибровочные пре­образования, не нарушая условия (14.2.3.5) (если считать, что р⁺ф0). Суперкалибровка полностью фиксирована.

Напомним, что условия Х⁺ ~ р⁺х и ^^+/ = 0 в случае замкну­той струны все еще допускают наличие нулевой моды трансля­ций по ст.

Упражнение. Покажите, что на концах имеется достаточно свободы, чтобы удовлетворить уравнению (14.2.3.5).