12.3. Более подробное описание алгебры связей

12.3.1. Явные вычисления

Основные результаты канонического формализма можно сфор­мулировать в виде следующих положений:

1. Переменными в гамильтоновом формализме являются ко­ординаты струны Х^А(а), сопряженные импульсы £Ра (а) и лаг-

Струна Намбу — Гото: классический анализ 127

ранжевы множители N(a), N^l(a). Имеют место скобки Пуас­сона

[Х^А(а), &_в(а')] = бвб (а, а').

Кроме того, переменные подчиняются граничным условиям (12.2.3.3) в случае открытых струн и условиям периодичности в случае замкнутых струн.

2. Вся динамика струны содержится в связях

« 0, (12.3.1.2а) (12.3.1.26)

которые ограничивают допустимые начальные условия. Гамиль­тониан теории имеет вид

=^do (ЫЖ + №Ж_Х)\ (12.3.1.3)

он равен нулю в слабом смысле; Ж (о) генерирует деформации струны Х^А(а)_у перпендикулярные струне, так как он умно­жается в выражении (12.3.1.3) на функцию хода; Ж\ (а) гене­рирует сдвиги, касательные к струне. Для получения выраже­ний (12.3.1.2) не требуется никакой фиксации калибровки.

3. Скобки Пуассона связей образуют замкнутую алгебру. Эта алгебра эквивалентна конформной алгебре, или "алгебре Вирасоро":

[Ж (а), Ж(о')) = (Ж₁(о) + Ж₁(а^/))6'(о, а'), (12.3.1.4а) or), Ж₁(о')] = (Ж(о)+Ж(о'))6'(а, а'), (12.3.1.46) (а), Ж₁{о')\ = (Ж₁{о) + Ж₁(о'))Ь'(о_у о'). (12.3.1.4в)

Вследствие этих соотношений связи оказываются "первого класса" и сохраняются при эволюции во времени.

Явное доказательство соотношений (12.3.1.46) и (12.3.1.4в), которое мы до сих пор откладывали, облегчается, как только мы поймем, что Ж\(о) генерирует одномерные координатные преобразования о—>-в' — /(а), т. е.

[f(o), \Ж_Х (а') I¹ (а') do'] = g_fiF, (12.3.1.5)

где ft обозначает оператор дифференцирования Ли. В самом Леле, находим, что

[Х^А (or), J Ж_х (о') I^х (a') do'] = I^х (о) Г* (а) = %

128 Глава 12

(Х^А — скаляры), а также

_A (a), J Ж_х (а') V (а')

а—плотность веса 1). Отсюда мы получаем

[ж (a), J Ж_х (а⁷) I¹ (а⁷) da'] = ^ = g¹^)⁷ + 1^пЖ (12.3.1.6а) — плотность веса 2) и [Ж_{ (a), J ^! (a⁷) I¹ (a⁷) da'] = 2_Б^ — (g¹^)' + Г ^J^i (12.3.1.66)

(Ж\ — ковекторная плотность веса 1). Поскольку соотношения (12.3.1.6) выполняются для произвольного одномерного вектор­ного поля %¹(а)у отсюда легко выводятся скобки Пуассона (12.3.1.46) и (12.3.1.4b).

Что касается скобок Пуассона (12.3.1.4а), то они получают­ся следующим образом:

[Ж (а), Ж ((/)] = - Р_А (а) Х'^А (аО -^г 6 (а, а')

, a⁷), (12.3.1.7) где использованы свойства б-функции

^д, а') = -^-6 (а, а⁷), (12.3.1.8а)

аОй'Са, а⁷) = F' (а) 6 (а, а⁷) + Z⁷(а) б⁷ (а, а'). (12.3Л.86)

12.3.2. Условия Вирасоро

Как мы уже показали, алгебра компонент тензора энергии-им­пульса (12.3.1.4) является конформной алгеброй в двух изме­рениях. Удобно работать в светоподобных координатах, в ко­торых явно видна структура прямой суммы конформной алгеб­ры в двух измерениях. Поэтому введем *)

(a) - 2я (Ж (а) ± Ж, (а)) - (У2S⁷ ^

(12.3.2.1)

Так как Т^а$ — бесследовый тензор (в светоподобных координа­тах это означает, что Г+^ = 0), величины Q+, Q- являются про-

*) Множитель 2я введен в (12.3.2.1) для согласования с общеприня­тыми обозначениями.

Струна Намбу—Гото: классический анализ 129¹

сто компонентами Т++ и Т— тензора Т^а$. Введенные новые генераторы, как и ожидалось, удовлетворяют алгебре

[Q⁺ (a), Q⁺ (а⁷)] - 4я (Q⁺ (а) + Q⁺ (а')) б' (а, а'), (12.3.2.2а)

[<Э⁺(<т), Q""(aO] = O, (12.3.2.26)

[Q~ (a), Q" (а')] = -4я (<?" (а) + Q" (а⁷)) Л' (а, а'). (12.3.2.2в)

Для случая открытых струн переменные можно продолжить на интервал [—л, 0] с помощью правил симметрии, тогда для свя­зей возникают следующие свойства симметрии по отношению к отражению:

(12.3.2.3)

Таким образом, одно условие

, (12.3.2.4)

заданное на всем интервале [—л, я], заключает в себе все свя­зи [10].

Удобно ввести генераторы Вирасоро L[f]_t заданные фор­мулой

L[t] = -^\f(o)Q⁺(a)do. (12.3.2.5)

— л

В частности получаем

H L[N + N^l] (12.3.2.6)

Генераторы Вирасоро образуют замкнутую алгебру, соот­ветствующую одномерной алгебре диффеоморфизмов:

[Llf], L[g}]-=Llf_g'-f'g] (12.3.2.7)

(здесь fg' — f'g — вронскиан = одномерная скобка Ли).

Из алгебры (12.3.2.7) следует, что коэффициенты Фурье L_n ^ L[e^ina] связи Q⁺(a) удовлетворяют алгебре Вирасоро, ко­торая в своей первоначальной форме имеет вид¹)

[L_mt L_n] = i(n-m)L_n+m. (12.3.2.8)

Условия

L_n = 0 (12.3.2.9)

полностью эквивалентны каноническим связям. Они называ­ются условиями Вирасоро для открытой струны. Легко

') Появление множителя i объясняется тем, что иа классическом уровне мы используем скобки Пуассона, поэтому здесь ие возникает также централь­ного заряда.

130 Глава 12

установить, что

(12.3.2.10)

В случае замкнутой струны связи Q+(cr) = O и Q-(a) = 0 являются независимыми. Соответственно этому появляются два набора генераторов Вирасоро:

2л

[a)Q^J(o)do, (12.3.2.11а)

S (12.3.2.116)

О

Их компоненты Фурье определяются формулами

L_n гэ L [e^ina] = C__nJ (12.3.2.12а)

(12.3.2.126)

(знак минус в экспоненте введен для того, чтобы ниже была полная симметрия между генераторами L_n и L_n), и они удов­летворяют следующей алгебре:

[L_m, L_n} = i(n-tn)L_n^_m, (12.3.2.13а)

[L_m, Г_Л] = 0, (12.3.2.136)

[L_my L_n] = i(n-m)L_{n + n}. (12.3.2.13b)

В данном случае полный набор условий Вирасоро имеет вид

£«=0, Z_m = 0. (12.3.2.14)

Соотношения (12.3.2.14) в точности эквивалентны гамильтоно-вым связям.

Упражнения