- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
13.2.3. Фоковское пространство духов
Переходим к квантовой теории. Духи ч\т и {Рт становятся операторами и вследствие (13.2.2.7) удовлетворяют соотношениям
fo«, ^У = бм, _„ (13.2.3.1)
(где символ [, ] обозначает теперь антикоммутатор в соответствии с правилом: скобки Пуассона фермиевских переменных-^ антикоммутатор) и
п; = П-я. К = *-п- (13.2.3.2)
Из соотношений (13.2.3.1) и (13.2.3.2) видно, что нулевые моды iio и ^о отличаются от других мод, поскольку они веще-
ственны и удовлетворяют условию
ho, ^о1=1. (13.2.3.3)
Пространство неприводимого представления для соотношения (13.2.3.3) хорошо известно [33]. Оно двумерно и изоморфно пространству функций от одной грассмановой переменной т]01):
/ = а + Ьт1°, (13.2.3.4а)
rf — умножение на т]0, (13.2.3.46)
(13.2.3.4b) (13.2.3.4г)
Состояния fi = 1 и f2 = т]° имеют нулевую норму и скалярное произведение, равное 4-1. С другой стороны, можно рассмотреть состояния (1 ± n°)/V2 » которые ортогональны друг другу и имеют норму ±1.
Пространство духовых состояний является прямым произведением пространства (13.2.3.4) на фоковское пространство высших мод цт и <?т, построенное следующим образом. Определяются операторы
( + ?) f=^ К.+ *"„), (13.2.3.5)
, удовлетворяющие условию
[L.rm]^-[gm.g'm] = l (13.2.3.6)
(другие антикоммутаторы равны нулю).
1) Чтобы ВЫПОЛНЯЛИСЬ равенства 0 = TJ°T)m + t\mf)° = *)°&т +
... = ^%5^ + ^п^>0, операторы (13.2.3.46) и (13.2.3.4в) в действительности следует умножить на (—1) F, где NF— число духовых фермнонов, но этот множитель здесь опускается.
170 Глава 13
Вакуум духов аннигилируется операторами уничтожения fm
f> j0>=0 (13.2.3.7)
и нормируется на единицу: <0|0>= I. Операторы рождения fm являются операторами обычного типа, а операторы gm рождают состояния с отрицательной нормой (предполагается существование таких состояний в пространстве духов).
Последующие вычисления будут проводиться так, чтобы быть на каждом этапе осмысленными в рамках определенного выше фоковского пространства. Это будет достигаться путем использования нормальной формы операторов. Заметим, что это равносильно записи всех операторов т\т и <?*т слева от г\т
и 0>т, поскольку х\т и 0^т содержат только операторы рождения, в то время как \\т и 0>т выражаются только через операторы уничтожения. Для операторов же г)0 и <Р0 будет принято' антисимметричное упорядочение.
Упражнение. Что является пространством нулевых мод для замкнутой струны?
13.2.4. Нильпотентность квантового БРСТ-оператора Квантовый вариант БРСТ-генератора (13.2.2.6) имеет вид
^ = Z (£„ - «<Л, оК - 2 Zn
п- I
S,
tn=l
п- I l
S (Ln- аоб„, 0) л; - 2 E
n~ — oo ч ' n>0
m=I
n>0 mI
Квантование струны Намбу — Гото 171
Неоднозначность упорядочения возникает только для членов (отсюда появление ао в первом слагаемом выражения для Q) и т]о. Но неоднозначность для второго члена может быть перенесена на величину ао и не дает ничего нового.
Первое условие на Q, а именно эрмитовость, очевидно, следует из выражения (13.2.4.1). Остается проверить нильпотентность.
Нильпотентность БРСТ-генератора нарушается по двум причинам. Во-первых, благодаря центральному заряду операторы Ln больше не образуют истинной алгебры. Во-вторых, духи тоже вносят аномальные члены. Действительно, антикоммутатор [^1%%, \^e^f] не имеет нормального вида1). При приведении его к нормальному виду возникает слагаемое, отсутствующее в классическом пределе:
ну- (13.2.4.2)
Уравнение (13.2.4.2) после некоторых вычислений позволяет представить условие Q2 = 0 в виде
Q2=т £ Ь3 (4 - -т) +«К - т+т)] чх- (13-2-4-3)
п >0
где аномальный вклад духов не зависит от размерности пространства-времени и может быть получен из выражения (13.2.4.3), если положить <i = ao = O. Центральный заряд алгебры Вирасоро генерирует член, пропорциональный d, и существует еще, разумеется, вклад от а0. Требование нильпотентности Q дает
d = 26, Оо=1. (13.2.4.4)
Калибровочная инвариантность реализуется квантовомеханиче-ски только при критической размерности d = 26. При d¥=26 эта существенная особенность теряется. (Значение второго условия а0 = 1 обсуждается ниже. К сожалению, оно предполагает наличие тахиона в спектре.)
Упражнения
Выведите выражение (13.2.4.3).
Какой была бы величина Q2, если использовать "антифо- ковское" представление для духов, основанное на вакууме,
') Легко видеть, что аномальные духовые члены возникают только, из этого антикоммутатора (где г\, 0> обозначают и нулевые моды). Если нулевые моды подставить в уравнение (13.2.4.2), то символ НУ в этом случае • будет обозначать антисимметричное упорядочение (и появится множитель 1/2 в аномальном члене).
172 Глава 13
уничтожаемом операторами f*m и g*^ Является ли это альтернативное представление априори столь же естественным, как го, которое использовано выше? Обсудите этот вопрос.
Введите снова в теорию неконформно-инвариантные сте пени свободы gn, их импульсы и импульсы, сопряженные функ циям N и N1. Запишите соответствующий БРСТ-генератор. До кажите, что новая часть в выражении для Q не дает вклада в аномалию.
Выведите критическую размерность для замкнутой стру ны (с? = 26!). Что такое а0? (Для любого Lq а0 = 1; в альтер нативных случаях ао [Lo + Lo) = 2, ао [Lo — L0 = 0.)